2. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Метод изоклин

Приведем формулировку основной теоремы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида

. (2.1)

Теорема Коши (о существовании и единственности решения). Если функции , непрерывны в некоторой области переменных , то при любых начальных условиях существует единственное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условию

. (2.2)

Геометрически данная теорема утверждает следующее: если функции , непрерывны в области переменных , то через любую точку этой области будет проходить единственная интегральная кривая уравнения (2.1).

Пусть далее для уравнения (2.1) выполняются условия теоремы Коши в некоторой области . Если рассматривать это уравнение как равенство, то в каждой фиксированной точке значение функции будет равно , то есть величине углового коэффициента касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку:

= = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox. Графически это можно изобразить прямолинейной стрелкой ( ), проходящей через точку , наклоненной к оси Ox под углом . (2.3) Аналитически говорят, что в области задано поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением (2.1) (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1

Тогда задачу нахождения решения уравнения (2.1) геометрически можно сформулировать следующим образом: найти интегральную кривую, удовлетворяющую условию, что касательные к ней имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания.

Одним из методов решения такой задачи является метод изоклин. Изоклиной (линией равного наклона) называется геометрическое место точек с одинаковым направлением поля (одинаковым углом наклона ). Изоклина, очевидно, задается условием

. (2.4)

Придавая константе различные значения, получим семейство (множество) изоклин. Во всех точках изоклины, соответствующей некоторому фиксированному значению константы , касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление, т. е. наклонены под одним и тем же углом (см. рис. 2.2).

Рис.2.2

Чтобы применить метод изоклин, поступают следующим образом. Находят уравнения семейства изоклин, используя равенство (2.4) (желательно это сделать в явном виде – как зависимость y от x). Придавая в равенстве (2.4) константе C различные значения ( ), строят несколько изоклин и на каждой из них наносят ряд штрихов, наклоненных к оси Ox под углом . По направлениям этих штрихов, как по касательным, проводят искомые интегральные кривые уравнения (2.1).

Пример 2.1. С помощью метода изоклин построить интегральные кривые дифференциального уравнения . Сравнить с точным решением.

Решение: Определяем семейство изоклин, учитывая равенство (2.4), где . Изоклинами в нашем случае будут являться вертикальные прямые .

Теперь будем придавать константе C различные числовые значения и составлять уравнения изоклин. Оформим этот процесс в виде таблицы.

Значение константы	Уравнение изоклины , соответствующее значению	Значение угла (в градусах)
С = 1/4		(1/4) 16
С = –1/4		(–1/4) –16
		(1/2) = 30
С = –1/2		(–1/2) = –30
С = 1		(1) = 45
С = –1		(–1) = –45
С = 3/2		(3/2) 63
С = –3/2		(–3/2) –63
С = 2		(2) 70
С = –2		(–2) –70
С = 3		(3) 80
С = –3		(–3) –80

Изображаем на координатной плоскости семейство изоклин (множество вертикальных прямых) и на каждой из них наносим штрихи, наклоненные к оси Ox под углом (см. рис.2.3). Замечаем, что нанесенные штрихи качественно определяют (восстанавливают) расположение интегральных кривых для дифференциального уравнения. Эти интегральные кривые параболы.

Рис.2.3.

С равним полученные интегральные кривые с кривыми, которые определяют точное решение исходного уравнения. Общее решение уравнения имеет вид . Замечаем, что на координатной плоскости они также представляют собой семейство парабол.