8. Точки перегиба функции

Определение 1. Точка называется точкой перегиба функции , если эта точка отделяет один вид выпуклости функции от другого вида выпуклости функции.

Теорема 1 (необходимый признак точки перегиба функции). Если точка является точкой перегиба функции , то обязательно в этой точке вторая производная обращается в нуль ( ), или же в этой точке вообще не существует конечной второй производной .

Определение 2. Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются точками, подозрительными на перегиб.

Не все такие точки обязательно являются точками перегиба. Например, для функции вторая производная обращается в нуль при . Однако эта точка не является точкой перегиба, так как функция является выпуклой вниз на всей обрасти определения.

Пример 1. Найти для функции точки, подозрительные на перегиб:

.

Решение. Производная второго порядка имеет вид

.

Согласно необходимому условию точки перегиба, вторая производная обращается в нуль в точке . Значит, точка есть точка возможного перегиба функции.

Пример 2. Найти для функции точки, подозрительные на перегиб:

.

Решение. Заметим, что область определения функции есть вся числовая ось. Вычисляем производные первого и второго порядков функции:

,

.

Вторая производная обращается в нуль при условии

,

то есть в точках

, , .

Они же и являются, согласно теореме, точками возможного перегиба.

Для ответа на вопрос, при каких условиях точка, подозрительная на перегиб, действительно является точкой перегиба, служит следующая теорема.

Теорема 2 (достаточный признак точки перегиба функции). Пусть точка является точкой, подозрительной на перегиб. Если при переходе через эту точку вторая производная меняет свой знак, то точка является точкой перегиба функции.

Доказательство. Действительно, пусть – точка, подозрительная на перегиб; при : , при : . Тогда на интервале функция выпукла вниз, а на интервале функция выпукла вверх. Значит, точка отделяет один выпуклости от другого, что и доказывает, что – точка перегиба функции.

Пример 3. Найти для функции точки перегиба:

.

Решение. Данная функция уже рассматривалась в вопросе 5. Производные первого и второго порядков функции имеют вид:

, .

Приравнивая вторую производную к нулю, получаем две точки, подозрительные на перегиб:

Применим достаточный признак точки перегиба. Воспользуемся методом интервалов.

На интервалах производная второго порядка положительна (на этих интервалах функция выпукла вниз). На интервале второго порядка отрицательна (функция выпукла вверх). При переходе через точку вторая производная меняет свой знак, следовательно, есть точка перегиба функции. При переходе через точку вторая производная не меняет своего знака, следовательно, не является точкой перегиба функции.

Лекция 6

9. Вертикальные асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой к графику функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности любого знака:

, .

Другими словами, прямая является вертикальной асимптотой к графику функции, если точка является точкой разрыва второго рода (с бесконечным скачком).

На рисунках 1.1, 1.2 изображены вертикальные асимптоты .

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Как известно, точки разрыва отыскиваются среди тех значений переменной , в которых функция не определена. Например, для дробной функции вида

точками разрыва будут являться те точки, в которых знаменатель дроби - функция обращается в нуль. Эти же точки являются точками разрыва второго рода.

Пример 1. Найти для функции

вертикальные асимптоты.

Решение. Функция имеет дробный вид. Значит, точкой разрыва функции является . Находим односторонние пределы в точке разрыва:

,

.

Так как оба односторонних предела функции в точке равны , то точка – точка разрыва второго рода, а прямая (ось ординат) – вертикальная асимптота к графику функции. График рассматриваемой функции представлен на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Пример 2. Найти для функции

вертикальные асимптоты.

Решение. Функция имеет дробный вид. Значит, точками разрыва функции являются , (в них знаменатель обращается в нуль). Находим односторонние пределы в каждой этих точках.

Рассмотрим сначала точку . При : . Поэтому односторонние пределы функции в точке равны

,

.

Проведенные вычисления показывают, что точка – точка разрыва второго рода, а прямая – вертикальная асимптота к графику функции.

Аналогично можно показать, что в точке :

.

Значит, прямая – вертикальная асимптота к графику функции.

График рассматриваемой функции представлен на рис. 1.4 (вертикальные асимптоты изображены красным цветом).

Рис. 2.1

Пример 3. Найти для функции

вертикальные асимптоты.

Решение. Точкой разрыва функции является точка . Найдем односторонние пределы функции в этой точке. Так как

,

то

Итак, получаем, что один из односторонних пределов равен бесконечности, то есть прямая есть вертикальная асимптота к графику функции. График рассматриваемой функции представлен на рис. 2.2.

Рис. 2.2