6. Экстремум функции одной переменной (второй достаточный признак)

Второй достаточный признак точки экстремума функции одной переменной основан на знаке второй производной функции в стационарной точке.

Теорема (второй достаточный признак точки экстремума). Пусть – стационарная точка функции (то есть ). Тогда:

1) если , то – точка минимума функции ;

2) если , то – точка максимума функции .

Пример 1. Найти для функции

точки экстремума, используя второй достаточный признак точки экстремума.

Решение. Производная первого порядка функции имеет вид

.

Применяя необходимое условие точки экстремума, получим две стационарные точки функции:

, .

Производная второго порядка функции имеет вид

.

Находим значения производной второго порядка в точках , :

Так как , то точка есть точка минимума функции; , то точка есть точка максимума функции.

Пример 2. Найти для функции

точки экстремума, используя второй достаточный признак точки экстремума.

Решение. Вычисляем производную первого порядка функции

.

Применяя необходимое условие точки экстремума, получим стационарную точку функции:

.

Вычисляем производную второго порядка

.

Находим значение производной второго порядка в точке :

.

Так как , то точка есть точка минимума функции.

Лекция 5

7. Условие выпуклости функции одной переменной

Пусть – функция, которую будем считать дифференцируемой на некотором интервале . График этой функции назовем кривой.

Определение 1. Дуга кривой называется выпуклой, если она целиком лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги этой кривой.

Если дуга кривой выпуклая, то ее выпуклость обращена либо вниз (рис. 1), либо вверх (рис. 2). Дуга кривой, обращенная выпуклостью вниз ( ), называется выпуклой вниз (график функции полностью расположен над касательной, проведенной в любой точке графика). Дуга кривой, обращенная выпуклостью вверх ( ), называется выпуклой вверх (график функции полностью расположен под касательной, проведенной в любой точке графика функции).

Рис.1 Рис. 2

Понятие выпуклости функции можно связать с производной этой функции. Пусть функция является выпуклой вниз на интервале (рис. 1). Проведем через точку касательную к графику этой функции. Уравнение этой касательной имеет вид

,

где – ордината точки касательной ( ). При всех ордината графика функции больше ординаты касательной:

,

так как график функции на интервале лежит полностью над касательной. Значит, для функции , выпуклой вниз на интервале обязательно выполняется условие

, при всех .

Аналогично для функции , выпуклой вверх на интервале

, при всех .

Следующая ниже теорема дает условие выпуклости функции на интервале.

Теорема (достаточный признак выпуклости функции на интервале). Пусть функция трижды дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если при всех : , то функция выпукла вниз на интервале ;

2) если при всех : , то функция выпукла вверх на интервале .

Пример. Исследовать функцию на выпуклость:

.

Решение. Находим последовательно производные первого и второго порядков функции:

, .

Применим достаточный признак выпуклости функции. Очевидно, что на интервалах производная второго порядка положительна, то есть на этих интервалах функция выпукла вниз. На интервале второго порядка отрицательна, а значит, функция выпукла вверх. Соответствующая диаграмма метода интервалов представлена на рисунке.