4. Экстремум функции одной переменной (определение, необходимый признак)

Определение 1. Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если найдется такой достаточно малый интервал ( ), что при всех выполняется неравенство (соответственно ).

Точки максимума (рис. 1.а) и минимума (рис. 1.б.) называются точками экстремума, значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Рис.1.а

Рис.1.б.

Теорема (необходимое условие точки экстремума). Если точка является точкой экстремума функции , то в этой точке либо производная равна нулю, либо в этой точке не существует конечной производной.

Обратное утверждение к теореме не выполняется. Например, для функции производная равна нулю при . Однако точка не является точкой экстремума функции.

Определение 2. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки из области определения функции , в которых не существует производной , называются точками, подозрительными на экстремум (критическими точками).

Согласно определению 2, все точки, подозрительные на экстремум, определяются из необходимого признака экстремума функции. Но не все они обязаны являться точками экстремума функции.

Пример 1. Найти точки возможного экстремума функции

.

Решение. Область определения функции . Согласно необходимому условию точки экстремума находим производную

.

Приравнивая найденную производную к нулю, получаем

Точки , – стационарные точки (в них производная обращается в нуль). Они же являются также точками возможного экстремума. Точка не является точкой, подозрительной на экстремум, так как в ней функция не определена.

Пример 2. Найти точки возможного экстремума функции

.

Решение. Область определения функции (функция определена на всей числовой оси). Согласно необходимому условию точки экстремума находим производную

Приравнивая найденную производную к нулю, найдем стационарные точки, а также точки, в которых производная не существует:

Точка есть стационарная точка (в ней производная обращается в нуль). Она же является точкой возможного экстремума. В точках , производная не существует. Так как в этих двух точках функция определена ( ), то они также являются точками возможного экстремума для исходной функции.

Лекция 4

5. Экстремум функции одной переменной (первый достаточный признак)

Согласно предыдущему вопросу для нахождения точек экстремума функции сначала необходимо найти точки, подозрительные на экстремум. Однако не все точки возможного экстремума на самом деле будут являться точками экстремума (необходимое условие точки экстремума не является достаточным условием). Рассмотрим в этом вопросе первый достаточный признак экстремума.

Теорема (первый достаточный признак точки экстремума). Пусть – точка, подозрительная на экстремум функции . Тогда:

1) если при : , при : , то точка – точка максимума функции ;

2) если при : , при : , то точка – точка минимума функции .

Справедливость теоремы следует из предыдущих теорем. Если при : , то на интервале функция строго возрастает, если при : , то на интервале функция строго убывает, а это значит, что точка – точка максимума функции.

Другими словами, если в точке производная и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с « + » на « – » (соответственно с « – » на « + »), то – точка максимума функции (соответственно точка минимума функции ).

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум:

.

Решение. Производная этой функции имеет вид (см. предыдущий вопрос, )

.

Точками возможного экстремума (они стационарные точки) являются

, .

Исследуем знаки производной по методу интервалов. Всю числовую ось разбиваем на четыре интервала точками 0, 1, 2 (см. рис). На каждом из получающихся интервалов берем по одной точке и подставляем в производную:

, ,

, .

Знак производной в конкретной точке показывает знак производной на всем интервале, из которого взята данная точка. Например, так как , то на всем интервале производная положительна, а значит, сама функция строго возрастает.

Из метода интервалов следует, что функция строго возрастает при , строго убывает при .

Согласно первому достаточному признаку точки экстремума – точка максимума ( , ), – точка минимума ( , ).

Пример 2. Исследовать функцию на экстремум:

.

Решение. Область определения функции . Производная функции имеет вид (см. предыдущий вопрос)

Точками возможного экстремума являются (см. предыдущий вопрос):

(стационарная точка, ),

, (в этих двух точках не существует конечной производной).

Для ответа на вопрос о точках экстремума воспользуемся первым достаточным признаком. При этом заметим, что знаменатель

дроби производной при всех значениях положителен. А значит, знак производной определяется знаком числителя. Применяя метод интервалов, получим (см. рис), что точка является точкой минимума функции ( , ). Точки , не являются точками экстремума, так как при переходе через каждую из этих точек производная не меняет своего знака.