2.4. Решение векторных уравнений

При решении задач кинематики часто встречаются ситуации, когда искомые скорость либо ускорение точки входят слагаемыми в векторные уравнения, вытекающие из (2.16), (2.18), (2.22 ) и (2.23).

Рассмотрим случай, когда все векторы, входящие в векторное уравнение, лежат в одной плоскости. Пусть имеется уравнение:

(2.26)

Спроектировав это уравнение на координатные оси и , получим два алгебраических уравнения

(2.27)

Каждый вектор, лежащий в плоскости OXY, полностью определяется двумя числами: либо проекциями на две координатные оси, либо модулем и углом, который вектор составляет с одной из осей координат. Из системы (2.27) можно найти только два неизвестных числа. Таким образом, если в векторном уравнении (2.26) известны все векторы, кроме одного, то система (2.27) позволяет определить его аналитически. Если в уравнении (2.26) неизвестны только два вектора по модулю, но известны по направлению, то система (2.27) позволяет определить эти неизвестные модули аналитически.

Кроме одного векторного уравнения при решении задач встречается система уравнений типа

(2.28)

Эта система легко приводится к одному уравнению типа (2.26)

из которого, как указано выше, можно аналитически найти либо один неизвестный вектор, либо модули двух векторов. После этого из 1-го либо из 2-го уравнения системы (2.28) можно определить неизвестный вектор a.

2.5.Примеры решение задач кинематики

К- 1.

На рисунке показана кинематическая схема механизма, состоящего из вращающегося с заданной угловой скоростью кривошипа AB, шатуна BC и коромысла СD.

В се звенья соединены между собой и стойкой при помощи плоских шарниров. Требуется определить скорость шарнира C в указанном на рисунке положении механизма. Длины звеньев указаны на рисунке в метрах.

К задаче К-1

Решение

Точка C принадлежит коромыслу CD, совершающему вращательное движение. Следовательно, вектор направлен перпендикулярно отрезку CD и равен модулю:

. (2.29)

Так как угловая скорость неизвестна, то из этой формулы невозможно определить модуль вектора .

С другой стороны, точка C принадлежит и телу CB, совершающему плоское движение. Поэтому, приняв точку B за полюс, можно записать следующее векторное уравнение (см. п.1.4):

(2.30)

Вектор направлен перпендикулярно прямой BC (см. рис.), а скорость точки B, как принадлежащей одновременно вращающемуся телу AB, направлена перпендикулярно отрезку AB и равна по модулю

.

Таким образом, в уравнении (2.30) вектор известен полностью, а остальные два вектора – только по направлению спроектировав (2.30) на оси и получим систему алгебраических уравнений

. (2.31)

Из первого уравнения системы (2.31) находим, что модуль искомой скорости . Направление вектора указано на рисунке верно, так как в результате решения оказалось, что .

Для определения угловых скоростей звеньев и , из выражения (2.29) получим

.

Угловая скорость направлена против часовой стрелки (направление вращения вектора вокруг оси ).

Так как при плоском движении , то из второго уравнения системы (2.31) находим

и

.

Угловая скорость направлена против часовой стрелки (направление вращения вектора вокруг полюса В).

К- 2

Определить ускорение точки механизма, показанного на рисунке к задаче К-1, если .

Решение

Так как точка принадлежит звену , совершающему вращательное движение, то

(2.32)

г де , а вектор известен только по направлению (см. рис.), так как и неизвестно.

К задаче К-2

Так как точка принадлежит одновременно звену , совершающему плоское движение, то

, (2.33)

где и вектор известен только по направлению (значение неизвестно). Из системы уравнений (2.32) и (2.33) получаем:

. (2.34)

так как точка В принадлежит вращающемуся телу АВ и , т.к. , то .

В уравнении (2.34) вектора известны как по модулю, так и по направлению, а вектора и - только по направлению. Спроектировав уравнение (2.34) на 2 оси, получим 2 уравнения для нахождения модулей векторов и . Для решения поставленной задачи достаточно найти только . поэтому, спроектировав уравнение (р) на ось , получим

,

откуда

.

Теперь в правой части уравнения (2.32) оба вектора известны и по модулю и по направлению. Спроектировав это уравнение на оси координат, найдем проекции искомого вектора на неподвижные оси и .

Спроектировав (2.34) на ось , можно определить модуль вектора , что, в свою очередь, позволяет при необходимости найти угловое ускорение звена , так как

,

Знак (-) означает, что вектор имеет направление, противоположное тому, которое показано на рис.

Угловое ускорение направлено по часовой стрелке.

В полном объеме теоретические основы кинематики изложены в учебниках (см. список литературы)

К- 3

. На рис. а показана схема планетарного механизма, состоящего из неподвижного колеса радиуса , кривошипа (водила) , вращающегося вокруг оси колеса 1, и подвижного колеса 2, шарнирно соединенного с кривошипом . При вращении кривошип заставляет колесо 2 катиться без скольжения по колесу 1. Определить скорость и ускорение точки М.

Дано:

,

.

К задаче К-3

Решение

Точка М принадлежит колесу 2. Для определения скорости и ускорения этой точки необходимо найти скорость и ускорение какой-нибудь другой точки, которая в последствии будет принята за полюс колеса 2. В качестве полюса следует принимать такую точку, скорость и ускорение которой либо известно, либо их не трудно найти. В донном случае такой точкой является шарнир А. Точка А принадлежит одновременно двум звеньям механизма: колесу 2 и кривошипу ОА.

Определим скорость и ускорение шарнирной точки . Известны угловая скорость и , поэтому скорость и ускорение определяются по формулам (2.12)-(2.14):

где

Вектор скорости точки направлен перпендикулярно прямой в сторону вращения кривошипа , то есть вверх (рис. б). Так как направление совпадает с направлением , то тангенциальная составляющая ускорения совпадает с направлением скорости точки , а нормальное ускорение направлено от точки А к оси вращения.

Определим угловую скорость колеса 2. Рассуждения при выборе метода решения выполняются в следующей последовательности: закон движения колеса 2 неизвестен, колесо 2 совершает плоское движение и известно положение мгновенного центра скоростей (точка Р на рис. б), который находится в точке контакта колес 1 и 2, так как колесо 2 катится без скольжения по неподвижному колесу 1.

Определим угловое ускорение колеса 2.

Зависимости и неизвестны, однако расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей (точки Р) постоянно и равно , следовательно, можно найти производную по времени от угловой скорости (тангенциальная составляющая ускорения точки А – найдена ранее).

Определение скорости и ускорение точки колеса 2.

Рассуждения при выборе метода решения производятся в следующей последовательности: точка принадлежит телу, входящему в состав механизма, однако угловая скорость этого тела и его ускорение известны (определены ранее), тело совершает плоское движение, причем известны скорость и ускорение точки (также определена ранее).

Приняв точку за полюс, согласно (2.16) и (2.17) получим:

, (2.34)

где .

Спроектировав (2.34) на оси и (рис. г), получим:

.

Согласно формул (2.18) – (2.29), получим:

, (2.35)

где

Спроектировав (2.35) на оси координат, получим:

;

.

К-4.

На рисунке 17 показана схема дифференциального механизма, состоящего из вращающихся вокруг оси 0 колеса 1 и кривошипа , и колеса 2, которое в результате взаимодействия с кривошипом 2 при помощи плоского шарнира катится без скольжения относительно колеса 1.

Д ано:

.

Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса 2.

Решение.

Определим угловую скорость колеса 2

Заметим, что точка контакта колес не является в данной задаче мгновенным центром скоростей, так как колесо 1 вращается и скорости всех его точек (кроме точки ) не равные нулю.

Чтобы определить угловую скорость колеса 2 из формулы (17), надо знать скорость какой-либо точки колеса во вращательном движении вокруг другой точки. Для этого предварительно определим скорости точке и колеса 2.

Так как точка одновременно принадлежит кривошипу , то ее скорость равна

Скорости точек колес 1 и 2 одинаковые, так как они вращаются без проскальзывания друг относительно друга. Так как угловая скорость колеса 1 известна, то

Направление скоростей точек А и В показано на рисунке .

Т ак как тело совершает плоское движение, то приняв точку В за полюс, можно записать векторное уравнение (см. п.2.4):

(28)

Вектор направлен перпендикулярно прямой АВ. Предположим, что он направлен влево. Спроектировав (28) на оси Х, получим

, откуда .

Из того, что следует, что выбранное направление вектора оказалось верным.

. (29)

Определим угловое ускорение колеса 2.

Так как ускорение неизвестно, то выразим через и .

С учетом (29) получим

(30)

Так как точка А принадлежит вращающемуся кривошипу ОА, а точка В – колесу – 1 , то

; ,

и из (30) следует

Знак минус в данном случае означает, что угловое ускорение колеса 2 направлено в сторону, противоположную угловым ускорениям кривошипа и колеса I, то есть по часовой стрелке .

К-5

. На рис. а показана схема подъемного механизма, состоящего из барабана 1, на который наматывается трос, перекинутый через неподвижный блок 3 и закрепленный в точке Е. К центру подвижного блока 3 шарнирно прикреплен стержень (трос) с грузом А. Груз движется вертикально.

Дано:

;

;

.

Определить: скорость V и ускорение a груза А.

К задаче К-5

Решение

Груз А вместе со стержнем движется поступательно. Следовательно, достаточно определить скорость и ускорение точки С. Эта точка одновременно принадлежит блоку 3, совершающему плоское движение (движение не вращательное, так как центр блока перемещается), то есть

.

Следовательно, задача заключается в определении скорости и ускорения точки С тела, совершающего плоское движение.

Определим сначала скорость точки С.

Точка принадлежит нерастяжимой нити, следовательно, на участке нити МD скорость всех точек нити по модулю одинакова и равна скорости барабана 1, в которой точки троса начинают контактировать с барабаном (точка М нити не может перемещаться относительно точки М барабана). Следовательно,

Скорость точки определена как , вектор скорости направлен вверх.

Участок троса неподвижен, следовательно, точка блока 3 неподвижна, она является мгновенным центром скоростей. Из (2.21) следует:

,

где - радиус блока 3.

Заметим, что так как в любой момент времени, то

.

Правая часть уравнения определяет тангенциальную составляющую ускорения точки М вращающегося тела, следовательно

.

Ускорение груза также направлено вверх, так как угловое ускорение барабана направлено против часовой стрелки и - влево.

Так как точка С движется прямолинейно, то

К-6

Определить нормальное и тангенциальное ускорения точки, движение которой задано координатным способом.

Решение

Согласно формулам (2.8) и (2.9), для нахождения тангенциального ускорения надо знать . По формуле (2.5) найдем

тогда .

Следовательно: .

Для определения нормального ускорения по формуле (2.9) надо знать радиус кривизны траектории движения точки. Если он неизвестен (в данном примере его легко определить, если найти траекторию движения точки), то нормальное ускорение можно определить из уравнений

и ,

где , .

Тогда

.

Радиус кривизны определяем по формуле (2.9), из которой следует

,

Таким образом,

.

К–7

В кривошипно-шатунном механизме, рис. а , . Кривошип имеет угловое ускорение . Найти ускорение точки и угловое ускорение шатуна в момент, когда кривошип перпендикулярен шатуну и ускорение ползуна равно нулю.

К задаче К-7

Решение

( ):

;

, ,

( ): ; ; ;

К–8

Два обруча радиуса катятся без скольжения по направляющей в разные стороны. Скорости центров и обручей постоянны и равны соответственно и . Определить ускорение кольца , надетого на два обруча, в зависимости от угла .

К задаче К-8

Решение

;

.

К–9

Дано: кривошипно-шатунный механизм, , . Найти скорость и ускорение ползуна при и .

К задаче К-9

Решение

, , ,

.

, .

При , направлено влево.

При , направлена влево, .

К–10

Д иск катится без скольжения, конец стержня скользит по наклонной плоскости. В показанном положении скорость центра диска равна 2 м/с, ускорение равно 1 м/с²; длина стержня 2 м. Для этого положения найти угловые скорость и ускорение стержня, ускорение скользящего конца.

К задаче К-10

Решение:

; следовательно, , .

,

,

К - 11

Точка движется по закону ; , рис. а.

Доказать, что

1) ; 2) ; 3) .

К задаче К-11

Решение

1. В точке :   ;

;  ;

2. Так как , то при , то есть в точке , рис. б.



при , .

К-12

В плоском кулисном механизме кривошип вращается равномерно с угловой скоростью . Стержень движется с постоянной скоростью .

Определить в указанном (на рисунке) положении механизма угловую скорость и угловое ускорение кулисы .

К задаче К-12

Решение

,

- относительная скорость; - переносная скорость.

Спроецируем уравнение скоростей на оси и

, то ;

; ускорения: .

.

Проецируя это уравнение на ось и учитывая, что , получим

,

,

К–13

Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω около неподвижной оси О, рис. а. Какова должна быть длина шатуна DK, если в указанном положении механизма ускорение точки К шатуна перпендикулярно этому шатуну?

К задаче К-13

Решение

, .

По рис. б: , где , .

, где , , , .

Решая совместно эти уравнения и проектируя на ось y, получим для любого угла φ: , или , .

, где , , , , . Проецируя выражение а_К на ось ξ, получаем при :

К–14

Точка движется по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью , рис. а. Точка B - по диаметру той же окружности с постоянной скоростью . Модули скоростей одинаковы. Для заданного положения точек найти ускорение и радиус кривизны траектории движения точки B относительно точки A.

К задаче К-14

Решение

Примем обозначение: τ – относительное движение; е – переносное движение.

Движение точки B относительно точки есть движение в системе отсчета, вращающейся вокруг точки с постоянной угловой скоростью . Картина сложения скоростей точки B показана на рис. б: , .

Вектор нулевого абсолютного ускорения точки B равен .

Проецируя это векторное соотношение на оси y и x, совпадающие соответственно с нормалью и касательной к траектории точки в относительном движении, получим ;

.

Следовательно ;

К–15

В гидродинамике идеальной жидкости вводятся понятия: поток источника (линии тока – лучи из начала координат; радиальная скорость , где - интенсивность источника) и циркуляционный поток (линии тока – концентрические окружности с центром в начале координат; поперечная скорость , где - циркуляция скорости). Сложение этих потоков дает поток вихреисточника. В поле скоростей вихреисточника помещается материальная точка пренебрежимо малой массы.

Найти уравнение траектории этой частицы (частиц жидкости) в координатной форме. В начальный момент времени: .

К задаче К-15

Решение

1) ; ; .

2) ; ;

; .

3) ; . Логарифмическая спираль.

К - 16

Г руз поднимается по вертикальной направляющей при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок А, отстоящий от направляющей на величину .

Определить скорость и ускорение груза С в зависимости от расстояния , если свободный конец троса тянут с постоянной скоростью u.

В начальный момент .

К задаче К-16

Решение

1) Определяем скорость груза:

; .

. Дифференцируем по : ; ;

связь между и : ; интегрируем:

; или ; ;

; . .

2) Определяем ускорение:

;

;

. .

К-17

Диск с прорезью вращается с угловой скоростью по ходу часовой стрелки, рис. а. Кривошип ОА вращается в обратном направлении с угловой скоростью . Обе угловые скорости постоянны; ; .

О пределить абсолютные скорость и ускорение ползуна В в тот момент, когда угол между шатуном АВ и кривошипом ОА равен 90^О.

К задаче К-17

Решение

Движение диска – переносное. Движение ползуна в прорези – относительное. .

Определяем абсолютную скорость (см. рис. б):

;

Диск: .

.

;

Определяем абсолютное ускорение (см. рис. в):

;

(по прорези);

;

; ;

Проецируем векторное уравнение ускорения a_B на вертикальную ось :

:

. ;

; .

; .

Направление вверх по .

;

К-18

Стержни AB и BC вращаются равномерно с угловыми скоростями ω и 2ω вокруг неподвижного шарнира B, рис. а. Стержень DE длины l соединяет ползуны, движущиеся по AB и BC, причем ползун D движется относительно AB с постоянной скоростью V=ω l. Определить скорость и ускорение ползуна Е относительно стержня ВС, а также угловую скорость стержня DE в момент, когда треугольник BDE – равносторонний.

К задаче К-18

Error: Reference source not found

Решение

Ползун D совершает сложное движение (переносное движение - вращение стержня AB). Относительная скорость V=ω l, переносная скорость V_De=ω l.

(2.36)

Ползун E совершает сложение движение (переносное движение - вращение стержня CB). Относительная скорость V₁(искомая величина), переносная скорость V_Ee=2ω l.

(2.37)

С другой стороны, ползун E принадлежит телу DE движущемуся плоскопараллельно:

(2.38)

где V_ED = ω_ED DE = ω_ED l (угловая скорость ω_ED – искомая величина). Учитывая (2.36) - (2.38) . (2.39)

Спроектируем (2.39) на оси координат

Откуда:

Аналогично для ускорений:

(2.40)

где – относительное ускорение. ; – кориолисово ускорение.

(2.41)

где – искомое относительное ускорение, – переносное ускорение;

– кориолисово ускорение.

С другой стороны , (2.42)

где .

Учитывая (2.40) - (2.42) получим:

. (2.43)

Спроектируем (2.43) но ось x

.

ω_ED = .

К-19

Внутри ходового колеса 1 погрузочной машины помещен планетарный механизм, зубчатое колесо 2 которого жестко связано с корпусом машины, движущейся поступательно, рис а. Колесо 3 вращается с известной угловой скоростью ; оси колес 4 жестко связаны с ходовым колесом. Известно соотношение чисел зубьев и радиус R. Определить скорость корпуса машины, если проскальзывание ходовых колес по почве отсутствует.

К задаче К-19