3.3. Модель двусторонних боевых действий

В общем случае при решении задач «синтез – типаж» (например, при выборе характеристик базирования), а также задач планирования боевых действий необходимо рассматривать модели двусторонних бое­вых действий. Это обусловлено, кроме того, и тем фактором, что операции, проводимые АК; проходят в условиях конфликта, и, как уже указывалось, решение задачи "синтез - типаж" требует учета тактико-технических решений противника.

Рассмотрим упрощенную модель двусторонних боевых действий однородных авиационных группировок АК, одна из которых имеет Nх средств нападения, а другая Ny , и будем считать, что интересы конфликтующих сторон строго противоположны, т.е. сторона X стре­мится максимизировать выбранный критерий эффективности, а сторона Y минимизировать его. При этом группировки имеют возможность на­носить удары как по целям, так и по аэродромам базирования противо­борствующей стороны с целью снижения собственных потерь на аэро­дромах базирования и ущерба своим целям..

Дифференциальные уравнения, написанные в предположении, что совершаются независимые вылеты группами из N_cx, N_0y самолетов по аналогии с (3.3), имеют следующий вид:

(3.43)

Здесь ξ_х, ξ_у – вероятности поражения АК в одном вылете для сторон Х и Y соответственно; β_х, β_у- коэффициенты, характеризующие интенсивность потерь на аэродромах базирования для сторон Х и Y соответственно ; U(t), V(t) – часть сил сторон Х и Y соответственно, выделенных для ударов по аэродромам базирования:

0≤U(t)≤1,0 ; 0≤V(t)≤1,0 (3.44)

N_x(t), N_y(t) –численности сторон Х и Y в момент времени t;

n_x(t), n_y(t) –текущее число пораженных целей сторон Х и Y соответственно; р_х, р_у- ущербы наносимые сторонам Х и Y соответственно (например , математическое ожидание пораженных целей в одном вылете одним АК).

Тогда математически задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть процесс описывается дифференциальными уравнениями (3.43). Среди допустимых управлений U(t)U и V(t)V требуется найти такие, которые придают функционалу максимальное значение за заданное время операции Т.

К=n_y(T)-n_x(T) (3.45)

при начальных численностях сторон в момент времени

t=0: N_x(t=0)=N⁰_x ; N_y(t=0)=N⁰_y

и при условии, что стороны имеют информацию относительно ξ_х, ξ_у, β_х, β_у, р_х, р_у.

Если процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями относительно фазовых координат при β_х≠ β_х(t), β_у≠ β_у(t); ξ_х≠ ξ_х(t), ξ_у≠ ξ_у(t), то в этом случае седловая точка (U*,V*) [6]

(3.46)

В противном случае седловая точка может отсутствовать и необходимо искать максиминные стратегии. Принципиально это обстоятельство ничего нового в решении не дает, поэтому далее для простоты рассмотрим случай (3.46).

Необходимые условия оптимальности процесса могут быть сформулированы следующим образом [6]:

если управления U*(t) и V*(t) и соответствующая им вектор- функция

являются оптимальными , то существует такая вектор- функция ψ(е), удовлетворяющая дифференциальному уравнению

(3.47)

с граничными условиями

(3.48)

Что в любой момент времени выполняется

где - функция Гамильтона; fi-правые части системы (3.43)

Решение поставленной задачи заключается в следующем. Составляем функцию Н

(3.49)

и сопряженную систему для вектор- функции ψ(t) в соответствии с (3.47):

(3.50)

Совместное решение систем дифференциальных уравнений (3.43) и (3.50) с граничными условиями

Nx(t=0)=N0x; Ny(t=0)=N0y; nx(t=0)=ny(t=0)=0;

ψ1(T)=ψ2(T)=0; ψ3(T)=-1.0; ψ4(T)=1.0 (3.51)

и выбором в каждый момент времени оптимальных управлений из (3.49) дает нам оптимальный расход группировки сторон N^*_х ( t) и N^*_у ( t ).

Поскольку система (3.49) линейна как относительно фазовых координат, так и управлений, интегрирование систем (3.43) и (3.50) может быть проведено независимо.

Найдем оптимальные управлений для момента t = Т из условия

(3.52)

с учетом значений ₁(Т) из (3.51). Тогда получим

(3.53)

Так как p_x>0; p_y>0; N_x(T)0; N_y(T)0, то из (3.53) имеем

U*(T) = 0,

V*(T)=0 (3.54)

Это означает, что в момент t = Т стороны свои усилия направляют на поражение целей.

Для определения оптимальных управлений в произвольный момент времени необходимо проинтегрировать уравнение (3,50) в районе точки t = Т, используя полученные оптимальные управления (3.54). Из (3.50) с учетом (3.54) имеем

(3.55)

Интегрируя (3.55), получаем

(3.56)

Из (3.49) с учетом (3.56) определяем оптимальные управления для произвольного момента времени

(3.57)

(3.58)

Неравенства из (3,57) и (3.58) определяют время переключения управления t_x (с U*= 1,0 на U*= 0) для стороны X и t_y (с V*=l,0 на V*= 0) для стороны Y, поскольку U*(Т) = V*(T) = 0.

Из (3.57) с учетом (3.56) имеем

(3.59)

а из (3.58) с учетом (3.56) получим

(3.60)

Из соотношения (3.59) видно, что при заданном времени опера­ции Т время переключения для стороны Х определяется соотношениями эффективностей (интенсивностей) поражения стороной Y целей и аэро­дромов базирования стороны Y и соотношениями эффективности потерь стороны Y при преодолении системы ПВО к эффективности поражения его целей стороны X. При этом время переключения для стороны X не зависит от начальной численности группировки. Аналогичные рас­суждения можно привести и для времени переключения стороны Y.

Соотношения (3.57) и (3.58) позволяют проинтегрировать систему уравнений (3.43) в квадратурах и получить оптимальные траектории Z*{t). При этом решение при 0<t_x<T и 0<t_y<1 можно разбить на три случая.

Случай I: t_x<t_y .

Здесь оптимальные траектории для N^*_х ( t.) и N^*_у ( t ) состоят из трех участков.

Первый участок 0 t t_x , U*=1,0; V*=1,0 характерен тем, что в первый период конфликта противоборствующие стороны наносят удары по аэродромам базирования.

Уравнение (3.43) имеет следующий вид:

(3.61)

Интегрирование уравнений (3.61) при начальных условиях (3.51) дает

(3.62)

Второй участок t_x < t  t_y характерен тем, что сторона X производит переключения с поражения аэродромов базиро­вания стороны Y на поражение ее целей, а сторона Y продолжает наносить удары по аэродромам базирования стороны X . При этом уравнения (3.43) имеют следующий вид:

(3.63)

Интегрирование уравнений (3.63) при начальных условиях N_x(t_x)=N*_x(t_x), N_y(t_x)=N*_y(t_x), n_x(t_x)=0, h_y(t_x)=0 , определяемых из (3.62) при t =t_x, дает

(3.64)

Третий участок t_y < t  T, U*=0, V*=0 характерен тем, что обе противоборствующие стороны наносят удары по целям. При этом уравнения (3.43) имеют следующий вид:

(3.65)

Интегрирование первых двух уравнений (3.65) при начальных ус­ловиях t =t_y, N_x(t_y)=N*_x(t_y), N_y(t_y)=N*_y(t_y), n_x(t_y)=0, n_y(t_y)=n_y^*(t_y), определяемых из (3.64) при t =t_y, дает

(3.66)

а значение критерия эффективности (цены игры) определяется из выражения

(3.67)

Случай П. Здесь оптимальные траектории для N_x^*(t) и N_y^*(t), как и в случае I, состоят из трех участков.

Первый участок, где 0  t t_y, U*=1,0,V*=1,0 аналоги­чен случаю I и функции N_x^*(t) и N_y^*(t) определяются из (3.62).

Второй участок t_y  t  t_x, U*=1,0,V*=1,0, характерен тем, что сторона X продолжает наносить удары по аэродромам базиро­вания стороны I , а сторона Y производит переключение и начинает наносить удары по целям стороны X. При этом уравнения (3.43) имеют вид:

(3.68)

Интегрирование уравнений (3.68) при начальных условиях t=t_y, N_x(t_y)=N*_x(t_y), N_y(t_y)=N*_y(t_y), n*_x(t_y)=0, n*_y(t_y)=0, определяемых из (3.62), при t=t_y дает N*_x(t_y)=N*_x(t_y)e^{-x(t- ty)}

(3.69)

Третий участок t_y <tT, U*=0, V*=0 аналогичен случаю 1, и значения N_x(t_y) и N_y(t_y) определяются из уравнений

(3.70)

а значение критерия эффективности определяется из следующего выражения:

(3.71)

Случай 3: t_x=t_y=t_n.

Оптимальные траектории в этом случае состоят из двух участков: первый участок при 0 t  t_n аналогичен первому участку для случая 1. и значение N_x(t_y) и N_y(t_y) определяются из (3.62); второй участок при t_n < t  T аналогичен третьему участку случая 1, и значения N_x(t_y) и N_y(t_y) определяются из (3.70).

Значения показателя эффективности в этом случае определяются из выражения

(3.72)

Таким образом, уравнения (3.43)-(3.72) для различных значений времени переключения t_x и t_y позволяют определить эффективности выполнения боевой задачи при заданных начальных численностях сторон, участвующих в конфликте. Если боевая задача задана в виде , т.е. требуется за время операции Т получить заданную разницу в ущербах сторон, то из уравнений (3.67), (3.71), (3.72) можно найти начальную численность группировки авиационных комплексов, обеспечивающей решение этой задачи.

Итак, рассмотрена задача выбора стратегии поведения двух группировок, преследующих антагонистические цели, когда на переменные состояния не накладывается никаких ограничений. Однако во многих случаях на переменные состояния наложены различные ограничивающие или дисциплинирующие условия. Например, цель операции может быть сформулирована в следующем виде:

Требуется обеспечить за заданное время Т максимальную разницу ущербов (наносимого и получаемого) при условии. Что количество пораженных целей противоборствующей стороны будет не менее некоторого заданного числа

. (3.73)

Кроме ограничений на координаты только в момент Т могут быть наложены ограничения и других типов (например, ограничения в каждый момент времени).

В качестве примера рассмотрим изменение необходимых условий оптимальности при наложении ограничений вида (3.73), в этом случае необходимые условия оптимальности формулируются так же. Как и при отсутствии ограничений, но граничные условия для вектор-функции (t) записываются в виде

(3.74)

(3.75)

(3.76)

то  можно определить, используя это равенство.

В рассмотренной задаче условия (3.75), (3.76) могут быть записаны в следующем виде:

(3.77)

а граничные условия (t=T) для функций _i(t) будут

₁(T)=₂(T)=0; ₃(T)=-1,0; ₄(T)=1+. (3.78)

Оптимальные управления для момента t=T из условий максмина (3.52) с учетом значений _i(t) из (3.78) будут

U*(T)=0; V*(T)=0. (3.79)

Тогда, используя условия (3.78), проинтегрируем уравнения (3.50) и вместо (3.56) получаем

(3.80)

Оптимальные управления для произвольного момента времени определяются из (3.49) с учетом значений _i(t) из (3.80). Имеем

(3.81)

(3.82)

Сравнивая полученные оптимальные управления с (3.57) и (3.58), видим, что учет ограничения (3.73) не изменяет оптимального управления для стороны Y, для стороны Х это приводит к изменению только времени переключения t_x:

(3.83)

Далее задача решается аналогично рассмотренному случаю: определяем оптимальные траектории. Значение n*_y(T) и из этого условия (3.77) находим . К сожалению, здесь не удается получить явного выражения для определения , и задачу надо решать с использованием любой итерационной процедуры.

Вместе с тем следует отметить. Что в общем случае требование (3.73) приводит к уменьшению времени t_x (это ясно из анализа (3.83), так как   0), т.е. сторона Х должна при оптимальном своем поведении уделять меньше времени ударам по авиабазам противника. Чем в первом случае. При этом, так же как и в первом случае, времена переключения сторон не зависят от начальных численностей группировок, а зависят только от эффективностей сторон при поражении целей и выживаемости в системе ПВО и на аэродромах базирования.