1.Линейные операции над векторами и их свойства.

1. Сложение векторов

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние.

2. Умножение на число

Произведением вектора   на число   называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору  ;

2. сонаправлен ему, если  , или противоположно направлен, если  ;

3. длины связаны следующим соотношением:  .

3. Свойства линейных операций

• Сложение векторов коммутативно:  .

• Сложение векторов ассоциативно:  .

• Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего:  . Очевидно,  .

• Для любого вектора   существует вектор   такой, что   или  .

• Умножение вектора на число ассоциативно:  . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:  .

• Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения: умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов:  .

• Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: 

Коммутативность сложения векторов

Ассоциативность сложения векторов

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

4. Теорема

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Необходимость. Пусть система векторов линейно зависима. Это значит, что существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:  . Один из коэффициентов, например   не равен нулю. Тогда

Достаточность. Пусть  . Тогда

Это нетривиальная (коэффициент  ) линейная комбинация, равная нулю. Значит система векторов линейно зависима.

• Геометрический смысл линейной зависимости заключается в следующем:

1. система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны;

2. система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны;

3. всякие четыре вектора линейно зависимы.

2..Базис плоскости.Теорема о базисе плоскости.

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке (рис. 1.29). Эти векторы называются базисными.

Теорема 1.4 (о разложении вектора по базису на плоскости). Любой вектор  , принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису   на этой плоскости, т.е. представлен в виде (1.3), где числа   и   определяются однозначно.

Коэффициенты   и   в разложении (1.3) называются координатами вектора   относительно базиса   (число   называют абсциссой, а   — ординатой вектора  ). Например, числа 2 и -3 являются координатами вектора   (   — абсцисса,   — ордината вектора  ).

Базисные векторы  , отложенные от одной (произвольной) точки плоскости, называются репером на плоскости.

3.Скалярное произведение векторов. Свойства,приложения.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

.

Угол между векторами

Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (a_x; a_y; a_z) и b=( b_х; b_у; b_г):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле

4.Векторное произведение векторов, свойства приложения.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы а х b и b х а коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b , а х b и a, b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a x b = - (b x a ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = (а ) х b = а х (b ).

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.

Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sin , т. е. S _пар = |а х b |. И, значит, S =1/2|а х b |.

5.Смешанное произведение векторов,свойства приложения.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

.

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах:

.

2)  , если тройка   – правоориентированная и   в противном случае.

Доказательство. 1) Обозначим через   объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на его ребрах.

рис.3.

Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н:  .

Площадь основания S численно равна модулю векторного произведения:  , а высота Н равна модулю проекции вектора   на вектор  :

.

Отсюда получаем:

, ч.т.д.

2) Так как 

, где  , то знак смешанного произведениязависит от угла  . Если он острый, то смешанное произведение   и  , если угол   – тупой. А это зависит, в свою очередь, от ориентации тройки векторов  . На рисунке 3 изображена правая тройка векторов  . Если смотреть со стороны третьего вектора  , то кратчайший поворот первого вектора   ко второму   осуществляется против часовой стрелки. В этом случае угол   – острый и  . Если же тройка   – левая, то конец вектора   будет лежать нижеплоскости векторов   и   (по сравнению с рис.3) и угол   будет тупым и , ч.т.д.

Теорема доказана.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b)•с=(b х с)•а=(с х а)•b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc0 . Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc >0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V=|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.