2. Смешанные стратегии

В случае, когда нижняя цена игры α и верхняя цена игры β не совпадают,

,

игрок А может обеспечить себе выигрыш, не меньший α, а игрок В имеет возможность не дать ему больше, чем β. Возникает вопрос – а как разделить между игроками разность

Предыдущие построения на этот вопрос ответа не дают — тесны рамки возможных действий игроков. Поэтому довольно ясно, что механизм, обеспечивающий полу­чение каждым из игроков как можно большей доли этой разности, следует искать в определенном расширении стратегических возможностей, имеющихся у игроков изначально.

Оказывается, что компромиссного распределения разности между игроками и уверенного получения каждым игроком своей доли при многократном повторении игры можно достичь путем случайного применения ими своих первоначальных, чи­стых стратегий. При таких действиях

• во-первых, обеспечивается наибольшая скрытность выбора стратегии (результат выбора не может стать известным противнику, поскольку он неизвестен самомуигроку),

• во-вторых, при разумном построении механизма случайного выбора стратегий, последние оказываются оптимальными.

Случайная величина, значениями которой являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией.

Тем самым, задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии.

Основные определения

Рассмотрим произвольную m х n игру, заданную m х n-матрицей

Так как игрок А имеет m чистых стратегий, то его смешанная стратегия может, быть описана набором m неотрицательных чисел

сумма которых равна 1,

.

Смешанная стратегия второго игрока В, имеющего п чистых стратегий, описыва­ется набором п неотрицательных чисел

сумма которых равна 1,

.

Замечание. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии: в частности, чистая стратегия A_i является смешанной стратегией, описываемой набором чисел Рев котором p₁, p₂, … , p_m, в котором

Подчеркнем, что для соблюдения секретности каждый из игроков применяет свои стратегии независимо от другого игрока.

Таким образом, задав два набора

мы оказываемся в ситуации в смешанных стратегиях. В этих условиях каждая обычная ситуация (в чистых стратегиях) {А_i, B_k} по определению является случайным событием и, ввиду независимости наборов Р и Q, реализуется с вероятностью p_iq_k. В этой ситуации {А_i, B_k} игрок А получает выигрыш a_ik. Тем самым, математическое ожидание выигрыша игрока А в условиях ситуации в смешанных стратегиях (Р, Q) равно

.

Это число и принимается за средний выигрыш игрока А при смешанных стратегиях

Определение. Стратегии

и

называются оптимальными смешанными стратегиями игроков А и В соответственно, если выполнено следующее соотношение

.

Пояснение. Выписанные неравенства означают следующее:

левое неравенство – отклонение игрока А от оптимальной стратегии Р⁰ при условии, что игрок В придерживается стратегии Q⁰, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока А может только уменьшиться,

правое неравенство – отклонение игрока В от оптимальной стратегии Q⁰ при условии, что игрок А придерживается стратегии Р⁰, приводит к тому, что выигрыш игрока А может только возрасти, и значит, выигрыш игрока В – только уменьшиться.

Приведенное условие оптимальности равносильно тому, что¹

Величина

,

определяемая последней формулой, называется ценой игры.

Набор (Р⁰, Q⁰, ν), состоящий из оптимальных смешанных стратегий игроков А и В и цены игры, называется решением матричной игры.

Пример 4. Рассмотрим 2 x 2 матричную игру из примера 1. Матрица этой игры имеет следующий вид

.

Как нетрудно убедиться, седловой точки у нее нет.

Смешанные стратегии игроков А и В могут быть описаны парами чисел

P = {p, 1 - p} и Q = {q, 1 - q}

соответственно.

Средний выигрыш игрока А вычисляется так

?

откуда легко следует, что

Последнее удобно записать так

.

Рис. 1

Полученная формула показывает, что если игрок А в половине случаев записывает на листе бумаге четное (нечетное) число (выбирает р = 1/2), то независимо от того, что делает игрок В, ожидаемый (средний) вы­игрыш игрока А в каждой партии будет нулевым.

Если же игрок А выберет р > 1/2 (так что разность р-1/2 будет положительной), то узнав об этом, игрок В может выбрать q < 1/2 (так что разность q - 1/2 будет отрицательной) и, тем самым, сделать средний выигрыш игрока А отрицательным, то есть заставит его проиграть. Если же игрок А выберет р < 1/2 (так что разность р -1/2 будет отрицательной) и игрок В узнает об этом, то он может выбрать q > 1/2 (так что разность q -1/2 бу­дет положительной) и вновь сделать выигрыш игрока А отрицательным, то есть опять заставит его проиграть.

Исследуем теперь эту формулу с точки зрения игро­ка В.

Если игрок А выбирает р = 1/2, то ожидаемый (средний) выигрыш игрока B независимо от его дей­ствий будет нулевым в каждой партии. Но если игрок В выберет q > 1/2 (так что разность q - 1/2 будет положительной), то, узнав об этом, игрок А может выбрать р < 1/2 (так что разность р - 1/2 будет отри­цательной), и тогда игрок В будет проигрывать в каждой партии. Если же игрок В выберет q < 1/2 (так что разность q -1/2 будет отрицательной) и игрок А узнает об этом, то он может выбрать р > 1/2 (так что разность р -1/2 будет положительной) и вновь заставит игрока В проиграть.

Тем самым наборы

,

является оптимальными, а исход игры ничейным:

ν = 0.

Замечание. На рисунке 1 показано, как устроена поверхность, описываемая функцией

Точка

является седловой точкой (точкой перевала) этой поверхности. Именно эта точка и дает решение рассматриваемой матричной игры.

Естественно возникают два ключевых вопроса:

1-й – какие матричные игры имеют решение в смешанных стратегиях?

2-й – как находить решение матричной игры, если оно существует?

Ответы на эти вопросы дают следующие две теоремы.