Расчет вала на совместное действие изгиба и кручения

Стальной вал (рис. 1) опирается в точках А и В. На вал жестко посажены три шкива. Диаметры шкивов: D₀ = 0,8м; D₁ = 1м; D₂ = 0,6м. Веса шкивов: Q₀ = 2,1кН; Q₁ = 0,8кН; Q₂ = 0,3кН. Вал вращается с частотой  n = 200 об/мин. Мощность N₀ = 20кВт, коэффициенты распределения мощности между шкивами:  ,  .

Подобрать диаметр вала по условию прочности по заданной теории прочности ([ ] = 100МПа) и по условию жесткости при кручении (допускаемый относительный угол закручивания [?] = 0,0035рад).

Порядок расчета.

1.      Вычисляем крутящие моменты, приложенные к шкивам.

2.      Строим эпюру крутящих моментов.

3.      Определяем результирующие усилия натяжения ременной передачи.

Рис.1. К расчету вала на изгиб с кручением

4.      Определяем вертикальные нагрузки на вал.

5. Определяем опорные реакции от вертикальных нагрузок и строим эпюру изгибающих моментов   (рис.2).

Проверка:

Рис.2. Эпюры изгибающих моментов

6. Определяем горизонтальные нагрузки на вал, опорные реакции от горизонтальных нагрузок и строим эпюру изгибающих моментов  .

Проверка:

7.Строим результирующую эпюру изгибающих моментов, геометрически суммируя эпюры  М_Х  и  М_У по формуле

.

8.Определяем опасное сечение вала.

9.Вычисляем расчетный момент в опасном сечении вала по третьей теории прочности.

10.Вычисляем диаметр вала по условию прочности по третьей теории прочности.

     

11.Определяем диаметр вала по условию жесткости при кручении.

Окончательно принимаем d = 0,07м.

Расчет стержней при внецентренном сжатии-растяжении

Пример 1. 

Чугунный короткий стержень сжимается продольной силой F = 600 кН, приложенной в точке В.

Требуется:

1. Определить положение нейтральной линии;

2. Вычислить наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения.

Решение.

 

1. Изобразим сечение в масштабе.

2. Определим положение главных центральных осей. Сечение обладает осью симметрии, поэтому ось Y можем показать сразу.

3. Определим положение центра тяжести фигуры (фигура состоит из двух квадратов). Выберем произвольную вспомогательную систему координат.

х₁С₁Y – вспомогательная система координат;

определим координаты точек С₁ и С₂ в системе х₁С₁Y.

Тогда,

А₁, А₂ – площадь первого и второго квадрата соответственно.

А = А₁ – А₂ – площадь всей фигуры.

А₁ = b² = 2500 см²

С (х_с = 0; у_с = -5,89) – положение центра тяжести во вспомогательной системе координат х₁С₁Y.

Ось X проводим перпендикулярно оси Y через точку С.

Так как сечение симметричное, то XСY – главная центральная система координат.

4. Определим главные центральные моменты инерции и квадраты главных радиусов сечения.

где а₁ = 5,89см – расстояние между осями Х и х₁;

      а₂ = 5,89 + 17,68 = 23,57 – расстояние между осями Х и х₂.

5. Определим координаты точки В (точки приложения силы) в главной центральной системе координат х_сСу_с.

6. Определим положение нейтральной линии.

,    

где х_N, у_N – координаты точек нейтральной линии.

В данной задаче

Нейтральная линия проходит через точку (х_N=0;  у_N=11,36) параллельно оси х_с.

7. В данной задаче на стержень действует сжимающая сила, поэтому нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения будем определять по формуле

где  х, у – это координаты точки, в которой считают напряжения.

8. Наибольшие сжимающие напряжения достигаются в точке В. Эта точка,  наиболее удаленная от нейтральной линии в области сжатия.

Наибольшее растягивающие напряжения достигаются в точках К и L  y_K  = у_L = 23,57 см.

Ответ:  , 

Пример 2.

Построить эпюру нормальных напряжений и определить положение нейтральной линии в прямоугольном поперечном сечении короткого столба, нагруженного вертикальной сосредоточенной силой F, приложенной так, как показано на рис. 1.

Решение.

Эксцентриситеты силы F  будут равны:

Произведя приведение силы к центру, получим

Схема загружения поперечного сечения показана на рис. 2. Нормальные напряжения в угловых точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 3), для которых y = y_max и z = z_max, подсчитывают по формуле

причем знаки слагаемых устанавливают в зависимости от того, растяжение или сжатие вызывает в данной точке соответствующий силовой фактор:

   

Эпюра напряжений в поперечном сечении изображена на рис. 3.

Для определения положения нейтральной линии воспользуемся формулами  :

 

Нейтральная линия показана на рис.4. Она отсекает отрезки в четвертой четверти координатной системы, показанной на рис.4.