4. Решение варианта 0 контрольной работы (часть 1)

Задача 1. Найти пределы функций:

1. Сначала подставим предельную точку x=2: числитель и знаменатель дроби равны нулю. Значит, мы имеем неопределенность первого типа . По теореме Виета или через дискриминант найдем корни квадратичной формы в числителе и разложим ее на линейные множители:

x²-x-2=(x-2)(x+1)

Теперь предел можно записать так:

2. Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

sin2x~2x

(Это следствие из первого замечательного предела)

Тогда

Решим эту же задачу по правилу Лопиталя. Напомним, что по этому правилу отношение дифференцируемых бесконечно малых можно заменить отношением их производных. Тогда

3. Сделаем следующие преобразования:

Обозначим v=x/4 и снова воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

(Это второй замечательный предел).

Тогда

Задача 2. Исследовать функции и построить графики

Исследование функций проведем по следующей схеме:

А) общие характеристики

• область определения

• нули

• четность

• периодичность

• особые точки

• асимптоты

В) дифференциальные характеристики

• монотонность

• экстремумы

• выпуклость

• перегибы

1. Рассмотрим сначала функцию

   • область определения – вся числовая прямая: D(y)=R

   • нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Очевидно, что один корень x₁=2. Разделим (например, уголком) кубическую форму в правой части функции на линейный множитель (x-2) для отыскания еще двух других корней. Получим

x³-6x+4=(x-2)(x²+2x-2)

Квадратичная форма x²+2x-2 (по теореме Виета или через дискриминант) имеет два корня x₂=-1-√3, x₃=-1+√3. Таким образом,

D₀={-1-√3, -1+√3, 2}

• Очевидно, что это функция общего вида, т.е. не обладает свойством четности

y(x) = y(-x)

или нечетности

y(x) = - y(-x)

• Функция не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

• Особые точки: y(0)=4. Значит, график функции пересекает ось ординат в точке (0,4).

• Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек существенного разрыва (разрыва второго рода) хотя бы с одним односторонним бесконечным пределом. Убедимся, что нет и наклонных асимптот. Действительно, угловой коэффициент асимптоты равен

• Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем производную

y^’=3x²-6

и приравняем нулю:

x²-2=0.

Критические точки: -√2, √2. Они делят область определения на три участка монотонности:

D=(-∞, -√2)U(-√2, √2)U(√2, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x	(-∞, -√2)	(-√2, √2)	(√2, ∞)
y’	+	-	+
y	↑	↓	↑

Итак, участки монотонности:

(-∞, -√2) – участок возрастания функции

(-√2, √2) – участок убывания функции

(√2, ∞) - участок возрастания функции

• Из таблицы легко определить точки экстремума. А именно, x=-√2 – точка локального максимума функции, а x=√2 – точка локального минимума функции

• Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует. Найдем производную второго порядка

y^’’=6x

Приравнивая нулю, получаем одну точку x=0. Она делит область определения функции на два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x	(-∞, 0)	(0, ∞)
y’’	-	+
y	∩	U

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

• Из таблицы легко определить точку перегиба. А именно, x=0 – точка перегиба функции

Используя полученную информацию, построим график заданной функции с помощью пакета Maple.

plot(x^3-6*x+4,x=-3..3);

2. Рассмотрим теперь функцию

   • область определения – все точки числовой прямой, за исключением точки x=0: D(y)=R\{0}

   • нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Приравнивая нулю числитель, получаем

D₀={-2, 2}

• Очевидно, что это нечетная функция. В самом деле,

Значит, график функции симметричен относительно начала координат.

• Функция также не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

• Особые точки: x=0. Найдем односторонние пределы в этой точке:

• Полученные значения односторонних пределов позволяются сделать вывод, что функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Убедимся, что функция имеет и наклонную асимптоту y=kx+b. Действительно,

Следовательно, y=-x+b. Найдем параметр b.

Итак, наклонная асимптота заданной функции такова: y=-x

• Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода. Найдем производную

Проверим правильность дифференцирования в среде Maple:

> diff((4-x^2)/x,x);

Критическая точка: 0. Она не входит в область определения функции, но является граничной для нее. Область определения в этом случае естественным образом представляется объединением двух участков монотонности:

D=(-∞,0)U(0, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x	(-∞, 0)	(0, ∞)
y’	-	-
y	↓	↓

Итак, участки монотонности:

(-∞, 0) – участок убывания функции

(0, ∞) - участок убывания функции

• Из таблицы видно, что экстремумов функция не имеет

• Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода. Найдем производную второго порядка

Проверим правильность дифференцирования в среде Maple:

> diff(-(x^2+4)/(x^2),x);

Критическая тока: x=0. Она делит область определения функции на те же два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x	(-∞, 0)	(0, ∞)
y’’	-	+
y	∩	U

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

• Точка x=0 не является точкой перегиба, так как она не входит в область определения функции и в ней не существует производная второго порядка.

Используя полученную информацию, построим график заданной функции