Министерство образования и науки Российской Федерации
ФБГОУ ВПО «Тюменский государственный университет»
Нижневартовский экономико-правовой институт (филиал)
Кафедра математики и естественных наук
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс
для студентов группы ЗЭ11 заочной формы обучения
Осенний семестр, лекций – 18 ч., семинаров – 16 ч., экзамен
Тематика первого семестра
Контрольные вопросы
Варианты контрольных заданий
Решение варианта 0
Литература
Составители: Н.П. Дмитриев
Е.А.Иликпаева
2012
1. Тематика дисциплины
Множества и функции. Понятие множества. Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и функции. Способы их задания. Общие характеристики функций. Ограниченные и монотонные функции. Обратные функции. Элементарные функции. Преобразование графиков.
Теория пределов. Понятие предела последовательности. Окрестность точки и геометрическая интерпретация предела. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Арифметические и порядковые свойства предела последовательности. Число е и его применение в финансовых схемах начисления сложных процентов. Понятие предела функции в смысле Коши и Гейне. Геометрическая интерпретация предела. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Понятие эквивалентности функций. Замечательные пределы. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Коши. Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных.
Производная и дифференциал. Понятие производной функции в точке. Геометрический и экономический смысл производной. Односторонние производные Свойства производных. Таблица производных. Логарифмическая производная. Понятие дифференциала функции. Его геометрический смысл. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные неявных функций. Инвариантность формы первого дифференциала.
Теоремы о дифференцируемых функциях. Локальные экстремумы функции. Теорема Ферма. Достаточные условия экстремума. Теорема Ролля. Формула Лагранжа. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.
Исследование функций и построение графиков. Критические точки первого рода. Участки монотонности. Выпуклость функции. Критические точки второго рода. Участки выпуклости. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построения графика.
Интегральное исчисление. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Тригонометрические подстановки. Схема Римана построения определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема и формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел вращения. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона.
2. Контрольные вопросы
Какие бывают множества на числовой прямой?
Каковы действия над множествами?
Что такое простейшие элементарные функции?
Как определяются элементарные функции?
Каковы общие характеристики функций?
Какая функция называется ограниченной?
Какая функция называется монотонной?
Что такое обратная функция?
Что такое неявная функция?
Какие бывают простейшие преобразования графиков?
Что такое последовательность?
Что такое предел числовой последовательности?
Каков геометрический смысл предела последовательности?
Какая последовательность называется сходящейся?
Что такое бесконечно малая последовательность?
Что такое бесконечно большая последовательность?
Какая связь между бесконечно малыми и большими последовательностями?
Каковы свойства бесконечно малых последовательностей?
Каковы свойства пределов последовательностей?
Что такое предел функции в точке?
Каков геометрический смысл предела функции в точке?
Что такое односторонний предел?
Если функция имеет предел, то всегда ли она имеет односторонние пределы?
Если функция имеет односторонние пределы, то всегда ли она имеет предел?
Что такое бесконечно малая функция?
Что такое бесконечно большая функция?
Какая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями?
Каковы арифметические свойства пределов?
Каковы порядковые свойства пределов?
Что такое замечательные пределы?
Как определяется порядок малости функции?
Какие бесконечно малые называются эквивалентными?
Каково содержание таблицы эквивалентных бесконечно малых?
Как используется такая таблица при вычислении сложных пределов?
Каковы бывают типы неопределенностей?
Какие типы неопределенностей раскрываются с помощью предварительного логарифмирования?
Какая функция называется непрерывной в точке?
Каково определение непрерывности функции через приращения?
Что такое односторонняя непрерывность?
Если функция непрерывна, то всегда ли имеет место односторонняя непрерывность?
Если функция имеет одностороннюю непрерывность, то всегда ли она непрерывна?
Какова классификация точек разрыва?
Являются ли непрерывными элементарные функции?
Какая функция называется непрерывной на отрезке?
Какова формулировка теоремы Вейерштрасса?
Какова формулировка теоремы Коши?
Как используется теорема Коши при решении нелинейных уравнений?
Что такое производная функции?
Каков геометрический и экономический смысл производной?
Каковы основные свойства производных?
Каково содержание простейшей таблицы производных?
Что такое односторонняя производная?
Если производная функции существует, то всегда ли существует односторонняя производная?
Если односторонние производные функции существуют, то всегда ли существует производная этой функции?
Что такое дифференциал функции?
Каковы свойства дифференциала?
Каков геометрический смысл дифференциала?
Каково уравнение касательной к кривой на плоскости в заданной точке?
Каково уравнение нормали к кривой на плоскости в заданной точке?
Как определяются производные высших порядков?
Как определяются дифференциалы высших порядков?
Как вычисляются производные неявных функций?
Каковы основные теоремы о дифференцируемых функциях?
Что такое экстремум функции в точке?
Какова формулировка теоремы Ферма?
Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то является ли это достаточным для существования экстремума в этой точке?
Каковы достаточные условия экстремума?
Как формулируется теорема Ролля?
В чем состоит геометрический смысл теоремы Ролля?
Как формулируется теорема Лагранжа?
В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?
Является ли теорема Лагранжа частным случаем теоремы Ролля?
В чем состоит правило Лопиталя?
Какие типы неопределенностей можно раскрыть по правилу Лопиталя?
Что такое критические точки 1 рода?
Как исследуется функция на монотонность?
Что такое участки монотонности?
Какая функция называется выпуклой вверх?
Какая функция называется выпуклой вниз?
Как исследуется функция на выпуклость?
Что такое участки выпуклости?
Что такое точки перегиба?
Что такое вертикальная асимптота?
Что такое наклонная асимптота?
Как определяются параметры наклонных асимптот?
Какова общая схема исследования функции и построения графика?
Что называется первообразной?
Всякая ли функция имеет первообразную?
Сколько первообразных имеет функция?
Что такое неопределенный интеграл?
Каковы свойства неопределенного интеграла?
Совпадает ли интеграл суммы функций с суммой интегралов от каждой из функций?
Совпадает ли интеграл произведения функций с произведением интегралов от каждой из функций?
Какова роль таблицы интегралов в нахождении первообразных сложных функций?
Что такое непосредственное интегрирование?
В чем состоит метод замены переменной в неопределенном интеграле?
Как выполняется метод подведения под знак дифференциала?
В чем сущность метода интегрирования по частям?
Что такое рациональная функция?
Какая функция называется правильной?
Каковы типы простейших дробей?
Как проводится разложение рациональной функции на простейшие дроби?
В чем состоит метод неопределенных коэффициентов?
Как интегрируются простейшие дроби 3 типа?
В чем особенность интегрирования простейших дробей 4 типа?
Каким образом используются рекуррентные соотношения при интегрировании дробей 4 типа?
Как интегрируются неправильные рациональные функции?
Как формулируется теорема Чебышева об интегрировании биномиальных дифференциалов?
Какова формулировка теоремы Остроградского об интегрировании выражений, содержащих квадратный корень из квадратичной формы?
Как интегрируются выражения, содержащие корни из дробно-линейной функции?
Каков вид универсальной тригонометрической подстановки?
Приводит ли универсальная подстановка к рационализации тригонометрического интеграла?
Какая подстановка более целесообразна, если подынтегральная функция четна относительно входящих в нее синуса и косинуса?
Как интегрируются тригонометрические выражения, содержащие степени синуса и косинуса?
Как применяются тригонометрические подстановки при интегрировании иррациональных выражений?
Что такое простейшая криволинейная трапеция?
Какая геометрическая задача способствовала появлению определенного интеграла?
Каковы этапы построения определенного интеграла по схеме Римана?
Что такое интегральная сумма?
Каковы свойства определенного интеграла?
Как изменится величина интеграла, если поменять местами пределы интегрирования?
Что такое аддитивность определенного интеграла?
Что больше: модуль определенного интеграла или интеграл от модуля функции с теми же пределами интегрирования?
Как можно оценить величину интеграла через границы подынтегральной функции?
Как формулируется теорема о среднем?
Что такое интеграл с переменным верхним пределом?
В чем сущность теоремы Ньютона-Лейбница?
Какова формула Ньютона-Лейбница?
Могут ли пределы интегрирования быть несобственными числами?
Может ли подынтегральная функция быть неограниченной?
Как определяется несобственный интеграл первого рода?
Какой интеграл первого рода называется сходящимся?
Каковы условия сходимости интеграла Дирихле первого рода?
Как формулируется и применяется теорема сравнения несобственных интегралов первого рода для исследования сходимости интеграла?
Как определяется несобственный интеграл второго рода?
Какой интеграл второго рода называется сходящимся?
Каковы условия сходимости интеграла Дирихле второго рода?
Как формулируется и применяется теорема сравнения несобственных интегралов второго рода для исследования сходимости интеграла?
Что такое криволинейная трапеция?
Можно ли считать круг криволинейной трапецией?
Как вычисляются площади плоских фигур в декартовой системе координат?
Что такое простейший криволинейный сектор?
Как применяется схема Римана построения определенного интеграла к задаче вычисления площади простейшего криволинейного сектора?
Что такое криволинейный сектор?
Как вычисляются площади плоских фигур в полярной системе координат?
Как вычисляются объемы тел вращения с помощью определенного интеграла?
Каковы простейшие методы приближенного вычисления определенного интеграла?
В чем сущность метода Симпсона?
Почему метод Симпсона эффективнее метода прямоугольников или трапеций?