9 . Расчет характеристик согласно пункту 2.4.
Рассмотрим случай, когда в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией на вход согласованного фильтра поступает сигнал, соответствующий символу «1», представляющий собой радиоимпульс, амплитудой а, описываемый выражением:
Рис. 9.1. Сигнал на входе согласованного фильтра.
Тогда импульсная характеристика согласованного фильтра с задержкой t0, равной длительности импульса имеет вид:
Рис. 9.2.Импульсная характеристика согласованного фильтра.
Соклова Д.О.
Изм.
Лист
№ докум.
Дата
Подп.
НГТУ.РТВ 14-01.
Жукова И.В.
Лист
26
Д ля понимания физического смысла согласованной фильтрации целесообразно рассмотреть отдельно составляющие КЧХ – амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.
Рис. 9.3. Амплитудно-частотная характеристика СФ.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) совпадает по форме с модулем спектральной плотности сигнала. Это означает, что согласованный фильтр имеет больший коэффициент передачи для более интенсивных частотных компонент сигнала («подчеркивает» сильные гармоники и подавляет слабые).
Рис.
9.4. Фазочастотная характеристика СФ.
Фазочастотная
характеристика состоит из двух
сомножителей, а именно: аргумента функции
,
обратного фазовому спектру спектральной
плотности сигнала, и фазового множителя
.
Первый сомножитель обеспечивает
суммирование всех частотных компонент
сигнала «в фазе», благодаря чему в момент
времени
,
обусловленный множителем
,
имеет место максимальное значение
отклика, численно
равное
энергии сигнала
Соклова Д.О.
Изм.
Лист
№ докум.
Дата
Подп.
НГТУ.РТВ 14-01.
Жукова И.В.
Лист
27
.Д ля произвольного момента времени отклик согласованного фильтра на «свой» сигнал
,
где
– автокорреляционная функция сигнала,
которая, как известно, достигает
максимума, равного энергии сигнала, при
нулевом значении аргумента.
Отсюда следует, что сигнал на выходе СФ есть не что иное, как автокорреляционная функция входного сигнала, обращенного во времени и сдвинутого на величину времени задержки.
Сигнал на выходе СФ имеет вид:
Рис. 9.5. Отклик СФ на посылку.
Максимум
выходного сигнала достигается при t
=
.
Как видно из рисунка форма сигнала сильно изменилась по сравнению с входным, но для нас важна не форма сигнала, а отношение выделяемой им мощности к мощности помехи, которая тоже прошла через фильтр.
Спектр шума равномерен, а передаточная функция фильтра неравномерна, поэтому шум гаситься неравномерно. За счёт этого появляется выигрыш в отношении сигнал/шум на выходе по сравнению с входом. Если же сигнал, поступающий на вход фильтра, не согласован с ним (произвольной формы), то фильтр может подавить сильно выраженные гармоники у сигнала, то есть для фильтра этот произвольный сигнал будет всё равно, что помеха.
Соколова Д.О.
Изм.
Лист
№ докум.
Дата
Подп.
НГТУ.РТВ 14-01.
Жукова И.В.
Лист
28
Н аходим энергию сигнала на входе согласованного фильтра:
Определим верхнюю частоту в спектре шума на входе СФ и СПМ шума:
Определим выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению со случаем однократного отсчета:
Дисперсия на выходе фильтра определяется как интеграл произведения СПМ шума на входе и квадратом АЧХ согласованного фильтра. Так как на входе квазибелый шум, то его СПМ в пределах от –F до F постоянна, поэтому дисперсия на выходе СФ равна:
Так как приём когерентный, то используем расчётные соотношения из пункта 7.1. У шума изменилась дисперсия, а у смеси сигнала и шума изменилось математическое ожидание. Оно стало равным максимальному значению сигнала на выходе согласованного фильтра, то есть энергии.
Отсюда выражения для условных плотностей распределения вероятностей при когерентном приеме с использованием согласованного фильтра имеют вид:
Для гипотезы Н0 – «сигнала нет» на входе СФ только шум:
Для гипотезы H1 – «сигнал есть» на входе СФ смесь сигнала с шумом:
Соколова Д.О.
Изм.
Лист
№ докум.
Дата
Подп.
НГТУ.РТВ 14-01.
Жукова И.В.
Лист
29
Т еперь вычислим порог принятия решения уП, приравнивая эти плотности распределения друг другу и домножая на вероятности «1» и «0» соответственно.
Рис. 9.6. Условная плотность распределения вероятностей при когерентном приеме с применением согласованного фильтра.
Получаем, что уП = 1.3510-5.
Условная вероятность ошибки первого рода («ложная тревога») равна:
Условная вероятность ошибки второго рода («пропуск цели») равна:
Средняя вероятность ошибки при когерентном приеме с использованием согласованного фильтра равна:
Соклова Д.О.
Изм.
Лист
№ докум.
Дата
Подп.
НГТУ.РТВ 14-01.
Жукова И.В.
Лист
30