1 1.2. Построение (7,4)-кода Хемминга. Расчет характеристик согласно пункту 2.5.

Коды Хемминга представляют собой (n,k)-коды, удовлетворяющие условию: при некотором целом m.

где n – длина кодового слова, k – число информативных символов

Особенность кодов Хемминга – проверочная матрица H^T содержит в качестве строк всевозможные комбинации «0» и «1», за исключением нулевого вектора, т.е. содержит все ненулевые синдромы.

Обозначение (7,4) означает, что каждая кодовая комбинация содержит четыре информационных и три дополнительных символа, которые дают избыточность. Такое кодирование позволяет всегда исправить однократную ошибку.

Код строится по общему правилу:

1. Сначала разобьём посылку, закодированную в пункте 4, по четыре символа. Это и будут кодовые слова разрешённых символов.

«Ирина Жкова» :

Строка получилась не полной, поэтому необходимо добавить символы, добавим один нуля.

Запишем матрицу информационных символов:

2. Запишем матрицу кодирования (порождающую матрицу кода G):

3. Запишем или найдем матрицу кодовых слов. Кодовые слова имеют структуру:

,

,

,

г

Соколова Д.О.

Изм.

Лист

№ докум.

Дата

Подп.

НГТУ.РТВ 14-01.

Жукова И.В.

Лист

33

де подразумевается сложение по модулю 2.

К одовую матрицу можно также найти, перемножив матрицу информационных (исходных) символов X на порождающую матрицу G:

С=XG

4. Запишем проверочную матрицу кода.

Для кода (7,4) проверочная матрица имеет вид:

Если передается кодовая комбинация С, причем в канале нет её искажений, то принятую комбинацию Y можно представить в виде Y=C.

5.Умножим принятую комбинацию на транспонированную проверочную матрицу:

Соколова Д.О.

Изм.

Лист

№ докум.

Дата

Подп.

НГТУ.РТВ 14-01.

Жукова И.В.

Лист

34

П олученная матрица имеет только нулевые компоненты, то есть синдром равен нулю. Это означает, что принятая комбинация совпадает с переданной.

Определим вероятности однократной и двукратной ошибок в пределах одного кодового слова и охарактеризуем способность кода к обнаружению и исправлению ошибок.

Вероятность k – кратной ошибки в пределах одного кодового слова равна:

где n – это число символов в кодовом слове ( для нас n = 7), k – кратность ошибки.

Используя вероятность ошибки при когерентном приёме, рассчитанную в пункте 7.1. р_ош=0.04, найдём вероятность однократной и двукратной ошибок.

Вероятность одной ошибки будет равна:

_{Вероятность двукратной ошибки в семи разрядном коде Хемминга будет равна:}

Как видно по полученным значениям, вероятность двукратной ошибки ничтожна мала, а вероятность однократной ошибки довольно высока, но код Хемминга такую ошибку позволяет исправить, поэтому он очень выгоден со стороны вероятности ошибочной передачи символов. Но, очевидно, что существенно увеличилась избыточность кода, по сравнению с экономным кодированием, и, конечно же, упала скорость передачи информации.

Соколова Д.О.

Изм.

Лист

№ докум.

Дата

Подп.

НГТУ.РТВ 14-01.

Жукова И.В.

Лист

35