Лабораторная работа №4 Интервальные оценки числовых характеристик случайных величин.

Цель работы. Оценка точности и надёжности числовых характеристик случайной величины, полученных по выборке объёма n.

1. Краткие теоретически сведения. Точечные оценки дают приближенно значение неизвестного параметра. При большом опытов точеная оценка, как правило, близка к неизвестному параметру. При малых объёмах выборки точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров.

Если известен закон распределения оценки или её дисперсия, то можно указать пределы, в которых с большей вероятность находится неизвестное значение параметра. Эти пределы выражаются через дисперсию оценки. Однако иногда дисперсия может зависеть от неизвестного параметра. В этом случае границы, в которых лежит неизвестный параметр, также зависят от значений этого параметра , следовательно, пользоваться такими границами нельзя. Точность и надёжность позволяют оценить интервальные оценки. Для определения точности оценки пользуются доверительными интервалами, для определения надёжности – доверительными вероятностями.

Случайный интервал с заданной вероятностью накрывающий неизвестную характеристику называется доверительным интервалом для этой характеристики. Число называется доверительной вероятностью, а значение - уровнем значимости. и называются нижней и верхней границами доверительного интервала.

(1).

Условие (1) означает, что в большой серии независимых испытаний, в каждом из которых получена выборка объёма n, в среднем

из общего числа построенных интервалов содержит истинное значение параметра . Длина доверительного интервала характеризует точность интервального оценивания. Она зависит от объёма выборки и доверительной вероятности . При увеличении объёма выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице – увеличивается. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения , равные 0,9; 0,95; 0,99.

Распределением Стьюдента с K степенями свободы называется распределение случайной величины , равное отношению двух независимых случайных величин: u и , т.е. , где u имеет распределение . Распределение Стьюдента часто используется в связи со следующей теоремой.

Теорема 3. Пусть элементы выборки независимы, и каждая из этих величин распределена нормально с параметрами . Тогда величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Интервальное оценивание математического ожидания и дисперсии. Пусть дисперсия генеральной совокупности неизвестна и ей оценка вычисляется по формуле . Тогда по теореме 3 величина имеет распределение Стьюдента. Границы, в которых лежит параметр находится из условия где - квантиль распределения . Решая неравенство относительно , получим, что с вероятностью выполняется условие:

(2).

Для нахождения доверительного интервала параметра при неизвестном воспользуемся теоремой 2. Случайная величина имеет распределение . Построим для неё интервал, в который она попадает с вероятностью , . Границы интервала выбираются так, чтобы , окончательная формула оценивания имеет вид:

(3).

2. Задание. Найти доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии по результатам наблюдений группированной выборки с доверительной вероятностью 0,9.

3. Порядок выполнения работы.

3.1. Записать точечные оценки:

3.2. По таблице П4 найти квантили распределения Стьюдента

3.3. Подставить в (2) значение , вычислить доверительные интервалы для

;

3.4. По таблице П3 найти квантили:

3.5. Подставить в (3) значения и вычислить доверительный интервал для

;

Доверительный интервал, полученный для по формуле (2), интерпретируется следующим образом: если многократно извлекать выборки, объёма n и с помощью неравенства (2) определить доверительный интервал, то в среднем 90% построенных таким способом интервалов содержит истинное значение .

Доверительный интервал, полученный с помощью неравенства (3), интерпретируется так: с вероятностью 0,9 доверительный интервал оценивает с относительной погрешностью, не превышающий 5% (при ).

4. Контрольные вопросы.

1. Какая оценка называется интервальной?

2. Какими двумя числами характеризуются любая интервальная оценка?

3. В каком случае величина подчиняется распределению, а в каком случае t – распределению Стьюдента?

4. Как интерпретируются доверительные интервалы, полученные с помощью неравенств (2) и (3)?