Лабораторная работа №2. Числовые характеристики выборочного распределения.

Цель работы – вычисление точечных неизвестных параметров распределения.

1. Краткие теоретические сведения. Все подлежащие определению по выборке величины называют статистическими характеристиками, а найденные по результатам опыта их значения – оценками. Точечной оценкой неизвестного параметра называется приближённое значение этого параметра, полученное по выборке. Точечная оценка является функцией , а, следовательно, сама является случайной величиной.

Оценка называется несмещённой оценкой параметра , если при любом объёме выборки её математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. . В противном случае она смещённая. Оценка называется состоятельной оценкой , если при неограниченном возрастании числа опытов сходится к оцениваемому параметру: . Оценка называется эффективной, если при заданном объёме выборки она имеет наименьшую дисперсию: .

Точечные оценки представляют числа, полученные путём подстановки выборочных значение в формулу искомого параметра. Например, математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле .

Так как для выборочного распределения , то выборочное m определяется по формуле . Аналогично

(1) .

Для группированной выборки эти соотношения принимают вид

.

Указанные оценки являются состоятельными и несмещёнными. Для выборки из нормальной совокупности оценка , кроме того, является эффективной, а - эффективной при (асимптотически эффективной). Несмещённость достигается использованием в знаменателе (1) величины вместо значения n.

2. Задание. Вычислить выборочные средние, дисперсию группированной выборки.

3. Порядок выполнения работы.

3.1. Составить таблицу 4. Исходные данные взять из таблицы 1. Последний столбец таблицы 4 служит для контроля вычислении при помощи тождества:

(2).

Таблица 4.

i
1 2 3 4 5 6	2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 -	-3 -2 -1 0 1 2 -	3 7 18 22 8 2 60	-9 -14 -18 0 8 4 -29	27 28 18 0 8 8 89	12 7 0 22 32 18 91
0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
3	7	18	22	8	2

Для упрощения вычислений данные выборки преобразуются следующим образом.

Где - середины интервалов, - значение , встречающееся с наибольшей частотой, b – ширина интервала группировки ( - 17,5).

3.2. Провести контроль вычислений с помощью тождества (2). В (2) подставляются данные последней строки Таблицы 4. Если тождество выполняется, вычисления выполнены правильно.

3.3. Вычислить оценки среднего и дисперсии преобразованных данных.

3.4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии исходных данных.

4. Контрольные вопросы.

4. 1. В чём состоит различие между оцениваемым параметром генеральной совокупности и его оценкой?

   2. Какие оценки параметров распределения называются состоятельными , несмещёнными, эффективными?

   3. Что такое точечные оценки параметров?

   4. Как находятся оценки и каковы их свойства?