Статистическая обработка данных

Методические указания к выполнению

лабораторных работ по математической статистике

Составители: Арсланова Р.М.: доцент, к.т.н.

Ракита Н.В.: доцент.

Рецензент: Нагорных Л.Г.: доцент, к.т.н.

Методические указания предназначены для развития навыков обработки результатов измерения. Содержат методики графического представления выборки, расчёта точечных и интервальных оценок параметров распределения случайного вектора, проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Специальные разделы высшей математики».

Ижевский государственный технический университет, 2010г.

ЗАДАНИЕ

Построить гистограмму, полигон относительных частот, эмпирическую функцию распределения группированной выборки.

1. Найти выборочные средние, дисперсию, группированной выборки.

2. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, использую критерий Пирсона.

3. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии по результатам наблюдений.

4. Вычислить точечную и интервальную оценки коэффициента корреляции двумерного случайного вектора.

5. Найти уравнения прямой регрессии, оценку дисперсии ошибок наблюдений, коэффициент детерминации регрессии.

Исходные данные:

Граница интервалов	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
Частоты	3	7	18	22	8	2

X Y	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100	1 2 0 0 0 0	2 3 2 0 0 0	1 3 13 1 0 0	0 0 4 16 2 0	0 0 0 3 3 2	0 0 0 0 0 2

Лабораторная работа №1. Графическое представление выборки.

Цель работы – изучение методов графического изображения выборки.

1. Краткие теоретические сведения. При решении многих прикладных задач вероятностные характеристики случайных величин неизвестны и должны определяться по экспериментальным данным. Задачей математической статистики является разработка методов отбора и обработки результатов измерения для получения обоснованных выводов.

Обычно измерения стараются проводить независимо одно от другого, примерно в одинаковых условиях. Пусть проводятся измерения. В результате измерений получены числа . Все возможные результаты наблюдений над случайной величиной , которые в принципе могут быть проведены при данных условиях, содержит генеральная совокупность. Набор чисел является одной из возможных реализаций генеральной совокупности и называется случайной выборкой объёма n.

При большом объёме выборки её элементы объединяются в группы. Результаты опытов представляются в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на непересекающихся интервалов длиной . Если интервалы имеют одинаковую длину, то , где - разность между максимальным и минимальным элементам выборки. Далее определяют частоты – количество элементов выборки, попавших в i-ый интервал. Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины интервалов группировки , а в нижней – частоты .

Гистограммой частот группированной выборки называется график кусочно постоянной функции построенной на интервалах группировки длиной , и принимающая на каждом из них значения . Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объёму выборки n. Площадь фигуры под графиком гистограммы относительно частот равна единице (рисунок 1). При увеличении объёма выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения генеральной совокупности .

Полигон частот называется ломаная с вершинами в точках . Полигон относительных частот - может быть получен из полигона частот сжатием по оси OY в n раз. Полигон частот можно получить, соединяя отрезками ломаной середины верхних оснований прямоугольников, их которых состоит гистограмма (рисунок 1). Если плотность генеральной совокупности достаточно гладкая функция, то полигон относительных частот является лучшим приближением , чем гистограмма относительных частот. По кривой полигона накопленных относительных частот можно найти выборочную квантиль порядка p – (абсциссу точки, лежащей на этой кривой и имеющей ординату p). p – порядок квантили – определяет долю общего числа наблюдений в выборке, результаты которых не превосходят . Например p=0,84; =20; 84% значений данной выборки не превосходят 20.

Пусть - выборки из генеральной совокупности. Соответствующая функция распределения называется эмпирической и обозначается . Эмпирическая функция распределения (рисунок 2) определяется по значениям накопленных частот соотношением , где суммируются частоты тех элементов выборки, для которых выполняется неравенство .

Значимость эмпирической функции распределения для статистики определяется следующим утверждением.

Теорема 1 (Гливенко). Пусть - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объёма n из генеральной совокупности с функцией распределения . Тогда и .

При каждом x, сходится по вероятности к при и следовательно, при большом объёме выборки может служить приближённым значением функции распределения генеральной совокупности в каждой точке x.

2. Задание. Построить гистограмму, полигон относительных частот, эмпирическую функцию распределения группированной выборки.

3. Порядок выполнения работы.

3.1. По данным таблицы 1 составить таблицу частот группированной выборки.

Таблица 3.

Номер интервала i	Границы интервала	Середина интервала	Частота	Накопленная частота	Относительная частота	Накопленная частота
1 2 3 4 5 6	0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30	2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5	3 7 18 22 8 2	3 10 28 50 58 60	0,05 0,12 0,30 0,37 0,13 0,03	0,05 0,17 0,47 0,84 0,97 1,00

3.2. По данным таблицы 3 построить:

3.2.1 Гистограмму и полигон относительных частот группированной выборки (рисунок 1).

3.2.2 Эмпирическую функцию распределения (рисунок 2). Середина первого интервала группировки при . На полуинтервале строится по данным 3 – го и последнего столбцов. Таблица 3. при x > 27,5.

Рис 1.

Рис 2.

4. Контрольные вопросы.

4.1. Дать определение гистограммы, полигона относительных частот группированной выборки, назвать их теоретический аналог.

4.2. Дать определение квантили и объяснить, что определяет порядок квантили p.

4.3. Дать определение эмпирической функции распределения и сформулировать теорему Гливенко.