Проектирование бих-фильтра

1. Задание на синтез ЦФ следующее:

АФ – прототип		ЦФ				Метод синтеза	Частота дискретизации, кГц
Тип фильтра	АЧХ	, дБ	, дБ	, кГц	, кГц
ФНЧ	Ч1	0,7	55	1,0	7,0	БП	30

Ч1 – фильтр Чебышева первого рода;

БП – билинейное Z-преобразование;

2. Определив минимально необходимый порядок фильтра функцией cheb1ord, с помощью функции cheby1 получим коэффициенты и и по ним запишем передаточную характеристику АФ:

Перейдём от цифровых частот к аналоговым по формуле:

- цифровые частоты;

- аналоговые частоты;

- период дискретизации

В нашем случае:

;

;

С помощью MatLab рассчитаем аналоговый фильтр прототип.

а) Определим минимально необходимый порядок фильтра:

Для этого используем функцию MatLab:

[n, Wo] = cheb1ord(Wp, Ws, Rp, Rs, ‘s’),

в этой функции:

n – минимально необходимый для заданных требований порядок фильтра;

Wo – частота среза фильтра;

Wp - граница полосы пропускания рад/с;

Ws - граница полосы задерживания рад/с;

Rp – допустимый уровень пульсаций в полосе пропускания, дб ;

Rs – допустимый уровень пульсаций в полосе задеживания, дб.

Параметр ‘s’ является признаком аналогового расчета.

В нашем случае:

;

;

;

;

б) Рассчитаем коэффициенты передачи аналогового фильтра:

Для этого используем функцию MatLab:

[b, a] = cheby1(n, Wo, type, ‘s’),

в этой функции:

type – тип фильтра;

Wo – частота среза фильтра;

n – порядок фильтра;

Тогда предаточная функция АФ-прототипа:

.

Построим частотные характеристики :

Для того чтобы убедиться в удовлетворении начальным требованиям, построим ЛАЧХ:

3. Рассчитаем полюсы АФ-прототипа :

4. По вычисленным с помощью функции tf2zp векторам нулей и полюсов определим векторы коэффициентов числителя b и знаменателя a передаточной функции ЦФ:

Запишем саму передаточную функцию ЦФ :

.

Тот же результат получается при использовании стандартной функции bilinear. Синтаксис функции:

[bz, az] = bilinear(b,a,Fs,Fp);

Здесь b и a – коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи АФ-прототипа. Параметр Fs задает частоту дискретизации в герцах. Последний входной параметр Fp является необязательным. Если при вызове использован параметр Fp, то он задает частоту (в герцах), на которой комплексные коэффициенты передачи аналоговой и дискретной системе будут совпадать.

Fs = 30000 Гц. Параметр Fp при вызове функции я не использовал.

Построим диаграмму нулей и полюсов :

Преобразуем передаточную функцию:

Разностное уравнение имеет вид:

.

Обозначим коэффициенты знаменателя передаточной функции как:

.

Обозначим коэффициенты знаменателя передаточной функции как:

.

Решение разностного уравнения для управляющего сигнала типа единичный скачок представим в виде диаграммы :

Построим импульсную и переходную характеристики фильтра:

Для построения импульсной характеристики фильтра используем функцию MatLab

h = impz(b, a, n);

где:

h – отсчёты импульсной характеристики;

b – вектор коэффициентов числителя передаточной функции цифрового фильтра;

a - вектор коэффициентов знаменателя передаточной функции цифрового фильтра;

n – число отсчётов импульсной характеристики.

Для построения переходной характеристики фильтра подадим на фильтр ряд единичных скачков:

g = filter(b, a, ones(1, n));

где:

g – отсчёты переходной характеристики;

b – вектор коэффициентов числителя передаточной функции цифрового фильтра;

a - вектор коэффициентов знаменателя передаточной функции цифрового фильтра;

n – число отсчётов переходной характеристики характеристики

Построим сигналы на выходе фильтра, подавая на вход сигналы (синусоиды y=10∙Sin(2πf∙t) ) с различными частотами, лежащими в полосе задержки и в полосе пропускания.

Из графиков видно, что сигнал с частотой, лежащей в полосе пропускания не изменяется, после прохождения через фильтра.

Сигнал, с частотой, лежащей в полосе задерживания практически полностью подавляется.

Графики можно сверить с частотными характеристиками и убедиться в их правильности. Так как все полюсы лежат внутри единичной окружности, то фильтр является устойчивым.

Для составления канонической структурной схемы фильтра (рис. 28) запишем уравнения:

;

;

Запишем коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции:

Каноническая структура схемы имеет вид :

Составим структурную схему фильтра в последовательной форме, для этого представим передаточную функцию в виде произведения передаточных функций не выше второго порядка

параметры каскадного представления задаются в виде матрицы, содержащей вещественные коэффициенты:

.

Матрицу получим используя функцию MatLab - tf2sos.

.

Структурная схема имеет вид:

Построим частотные характеристики ЦФ и сравним их с аналогичными характеристиками АФ :

В MatLab для расчета частотных характеристик ЦФ используется функция , где - коэффициенты передаточной функции. Возвращает АФЧХ и вектор ω круговых частот в радианах. Для расчета АП используется функция .

Логарифмическая АЧХ ЦФ имеет вид :

Масштабированная ЛАЧХ:

Из масштабированной ЛАЧХ видно что полосы пропускания и задержки удовлетворяют заданным требованиям.

Построим логарифмические характеристики в функции абсолютной псевдочастоты . Переход к псевдочастоте основан на переходе от - преобразования к - преобразованию с помощью подстановки:

С последующей заменой комплексной переменной на абсолютною псевдочастоту При этом реальная частота и псевдочастота связаны соотношением

Удобство псевдочастоты заключается в том, что, как следует из (8), на частоте где выполняется условие , она приближенно равна угловой частоте. Нетрудно убедится, что при изменении частоты в диапазоне псевдочастота принимает значение бесконечности.

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой и мпульсной системы к частотной следует сделать замену

[H_CF W_CF] = freqz(bz,az);

lam = 2*f_d*tan(W_CF*f_d/(4*f_d));

lam_p = 2*f_d*tan(w_p/(2*f_d));

lam_s = 2*f_d*tan(w_s/(2*f_d));

plot(lam,LACH_CF);