1.2. Метод Рунге – Кутта

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y`=f(x,y)

с начальным условием

y(x₀)=y₀.

Выберем шаг h и введём обозначения:

x_i=x₀+i*h и y_i=y(x_i), где i=0,1,2,...,

x_i- узлы сетки,

y_i- значение интегральной функции в узлах.

Проведём решение в несколько этапов.

Обозначим точки: A(x_i,y_i), B(x_i₊₁,y_i₊₁), C, D, E.
Через точку А проведём прямую под углом α, где tg α = f(x_i,y_i).
На прямой найдём точку В. Через точку В проведём прямую под углом α = -73, где tg α1 = f(x_i+h/4, y_i+h/4*f(x_i,y_i).
Найдём точку С на прямой В и через неё проведём прямую под углом α = -71, где

tg α = f(x_i+h/2, y_i+h/2*f(x_i,y_i)).

И так же находим остальные точки D c α = -68 и E c α = -65

По примеру, описанному выше, построим прямую, которая пересечётся с прямой x = x_i₊₁. Эта точка и будет решением дифференциального уравнения при x = x_i₊₁.

Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения y_i искомой функции y определяется по формуле:

y _i+1=y_i+Δy,

где

Δy=(k₁+2*k₂+2*k₃+k₄)/6, i=0,1,2,...

а числа k₁⁽ⁱ⁾,k₂⁽ⁱ⁾,k₃⁽ⁱ⁾,k₄⁽ⁱ⁾ на каждом шаге вычисляются по формулам:

k₁=h*f(x_i,y_i)

k₂=h*f(x_i+h/2,y_i+k₁/2)

k₃=h*f(x_i+h/2,y_i+k₂/2)

k₄=h*f(x_i+h,y_i+k₃)

Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

Методы Рунге – Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

На рисунке 6 приведена блок-схема процедуры RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y) для решения задачи Коши описанным выше методом Рунге – Кутта.

Рисунок 6. Блок-схема процедуры RUNGE

На рисунке 7 приведена блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N. В основной программе происходит обращение к процедуре RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y), вычисляющей значения искомой функции y_j в точках x_j методом Рунге – Кутта.