Методы расчета фундаментальной матрицы

1. – ряд Фурье

2. Использование операторного метода ; ; .

Пример (вычисление фундаментальной матрицы)

Пусть задана система в виде:

; – произвольные.

Вычислить фундаментальную матрицу системы .

Решение:

;

;

; ;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

.

Продолжение

Элементы матрицы имеют вид, зависящий от корней характеристического уравнения .

1. Если корни характеристического уравнения простые (некратные, вещественные), то элемент , где – корни характеристического уравнения; – числа, которые являются коэффициентами разложения на простые дроби элементов .

2. Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то , где – гармоническая составляющая ;  ; ; .

3. Если корни вещественные, кратные – -ой кратности ; ; .

;

;

;

;

;

; 

; 

;

Представление  показывает, что матричная экспонента является матрицей, каждая компонента которой линейная комбинация скалярной экспоненты , а т.к. весовые матицы и соответственно равны  и  также имеют своими компонентами линейные комбинации тех экспонент. Вид этих экспонент (затухающие или возрастающие) определяют траекторию движения системы и .

;

;

.

Анализ сау

Для анализа дано:

1. входные воздействия ;

2. линейная система, описываемая уравнением: , где – оператор дифференцирования;

3. начальные ненулевые условия в виде:

Найти выходной сигнал этой системы на заданное входное воздействие .

Алгоритм решения задачи анализа

;

– ; ;

– ; .

1. Найти изображение входных сигналов ;

2. Определить передаточную функцию системы одним из методов преобразования структурных схем и если начальные условия ненулевые, то найти многочлены и по следующим формулам:

3. Найти изображение выходного сигнала ; ; ; .

4. Найти реакцию системы (выходной сигнал) .

Пример

Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнением

с начальными условиями

;

;

на входной сигнал

.

Решение:

;

;

.

Найдем корни :

;

;

.

;

Используем процедуру 3.

;

, при

;

;

.

;

.

;

;

;

.

.

Решим этот же пример используя процедуру 1.

;

;

;

;

;

;

;

.

Свойства сау

Анализ САУ требует определения процессов протекающих в САУ, свойств анализирующих в САУ, таких как:

• устойчивость;

• управляемость;

• наблюдаемость.

Понятие устойчивости является фундаментальным понятием.

Устойчивость сау

Устойчивость САУ является одним из важнейших условий ее работоспособности, которое определяется требованиями затухания переходных процессов во времени.

Правильно спроектированная система должна правильно работать при всех внешних воздействиях.

Говоря об устойчивости САУ выделяют:

1. Устойчивость состояния равновесия системы – способность возвращаться в это состояние, после того, как исчезнет возмущение – причина отклонения;

2. Устойчивость заданного (траектории) движения – способность системы отвечать на малые начальные отклонения малым же отклонением реального движения от исходной траектории.

.

Пусть

– заданное невозмущенное движение (траектория).

Возмущение может быть из-за:

1. – возмущение по входу;

2. – возмущение по отклонению начальных условий. ; ; ; – возмущенная траектория.

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым если после приложения внешних сил (возмущений) типа 1 и 2, которые потом снимают возмущенное движение по истечении некоторого времени, войдет в заданную область

, где

– некоторая заданная величина, определяющая область допустимых значений.

В качестве невозмущенного движения может быть как свободная для исследования устойчивость, так и вынужденное движение.