Усилительное звено
,
где
– коэффициент усиления или ослабления.
;
; 
.
;
;
;
(не
зависит от частоты).
Интегрирующее звено
Интегрирующее звено характеризуется тем, что скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине.
;
;
.
;
;
;
Рассмотрим временные характеристики:
;
.
– реакция системы на единичное входное
воздействие.
Каким бы малым не было входное воздействие , на выходе интегрирующего звена сигнал с течением времени может быть сколь угодно большим.
Рассмотрим частотные характеристики:
; 
;
;
;
;
;
;
.
Апериодическое звено
;
;
;
Пусть
,
,
,
тогда
;
;
; 
.
;
;
; 
.
;
;
Если
,
то получается усилительное звено, а
если
,
то теряет свою инерционность и становится
интегрирующим звеном.
Частотные характеристики:
;
;
;
;
;
;
Пример (последовательное соединение звеньев)
Дано:
;
; 
;
.
Найти:
.
Решение:
; 
;
;
; 
;
;
; 
.
;
;
;
Передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций каждого звена:
.
;
;
;
;
;
;
; 
.
Пример (параллельное соединение)
Параллельным называется соединение при котором входной сигнал является входным сигналом для обоих звеньев, а выходной сигнал – сумма каждого из звеньев.
Дано:
; ; .
Найти:
Решение:
;
;
; 
.
;
Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций каждого звена:
.
.
.
;
;
;
;
; 
.
Пример (обратная связь)
Дано:
; ; .
Найти:
Решение:
; отрицательная
обратная связь;
;
;
;
; 
;
;
;
;
;
,
где
+ при отрицательной обратной связи;
– при положительной обратной связи.
;
;
;
;
;
; 
.
Пример
Решение:
Заменим последовательные звенья 1 и 2 на звено 12:
;
Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:
;
Найдем передаточную функцию всей системы:
.
Пример
Решение:
Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:
;
Замени последовательные звенья 3, 34 и 5 на звено 2345:
;
Найдем передаточную функцию всей системы:
.
Пример
Построить временные и частотные характеристики для элементарного звена 2-го порядка дифференциальное уравнение которого:
.
Рассмотреть:
Решение:
;
;
;
;
.
;
.
.
Рассмотрим временные характеристики:
.
;
;
.
Комплексная частотная характеристика:
;
.
Математические модели САУ в пространстве состояний
Термин пространства состояний получил широкое распространение в ТАУ для описания динамики систем во временной области. Этот термин является новым названием различных математических процедур, которые ранее использовались в аналитической динамике, квантовой механике, теории устойчивости.
Применение этого метода в ТАУ было определено работами Понтрягина, Беллмана (метод динамического программирования), Калмана.
Метод пространства состояний обладает рядом преимуществ при решении задач многомерных и сложных систем:
четкая формализация в постановке различных задач в управлении;
возможность решения задач с большим числом управляемых и управляющих переменных;
простота алгоритмизации вычислительных процедур;
ясность (наглядность) математических формулировок при решении задач.
В методе пространства состояний динамика
системы представляется зависимостью
между тремя множествами переменных
,
,
.
Вход системы выражается либо множеством
временных функций
,
либо множеством временных последовательностей
для дискретных систем
,
.
Выход системы
представляет собой описание непосредственно
наблюдаемого поведения системы.
Основное свойство любой динамической
системы заключается в том, что ее
поведение в любой момент времени зависит
не только от переменных действующих на
нее в данный момент времени (от пары
,
),
но и от переменных действующих на нее
в прошлом (
,
),
т.е. система обладает памятью, позволяющей
учитывать вклад переменной, действующей
на нее в прошлые моменты времени до
наблюдения ее поведения.
Математическое описание динамической системы времени приводит к подчеркиванию и формализации в направлении причинности от прошлого к будущему.
Поведение и свойства динамической системы можно охарактеризовать понятием состояния системы, которому соответствует определенная точка в евклидовом пространстве с координатами, являющимися координатами состояния. Размерность пространства равна порядку системы дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение.
Движение конца вектора состояний в пространстве состояний называется траекторией конца вектора состояний.
В пространстве состояний координатами
вектора состояний
являются переменные системы уравнений,
записанные в нормальной форме Коши.
(Описание системы дифференциальных
уравнений 1-ого порядка называется
описанием в нормальной форме Коши).
Число векторов определяет порядок
системы при этом координаты вектора
состояний необязательно соответствуют
реальным физическим величинам.
Описание системы в нормальной форме Коши является первичной моделью в системе пространства состояний.
Связь между и :
Связь между и :
Система
- дифференциальных уравнений
и система
- алгебраических уравнений
является математической моделью САУ в
скалярной форме в пространстве состояний:
,
где
,
,
,
– параметры системы;
;
.
Другой формой описания САУ в пространстве состояний является векторно-матричная форма, которая имеет вид:
,
где
– матрица динамики системы 
;
– матрица входа 
;
– матрица выхода 
;
– матрица усиления по входу
.
Уравнение динамики системы (эквивалентно уравнению ):
Уравнение выхода:
Вся информация о свойствах системы содержится в числовых таблицах – матрицах параметрах. При анализе и синтезе САУ можно опираться на стандартные преобразования этих таблиц.
Используя представления и или и можно определить САУ следующим образом:
САУ называется детерминированной, если ее выход и состояние в произвольный момент времени можно достоверно определить по ее состоянию в некоторый момент времени
и по известному входу на интервале
;Система называется стохастической, если информация о ее состоянии в некоторый момент времени
и о ее входе на интервале
позволяет
определить выход и состояние системы
в момент времени
только с определенной вероятностью
или другими статистическими методами
или средствами;Система является физически реализуемой, если ее выход и состояние в произвольный момент времени является функцией только тех входов, которые воздействуют на систему до момента .