Алгоритм решения задачи по построению оптимальной отрицательной обратной связи

1. Проверить наблюдаемость и управляемость системы (возможно и ненаблюдаемость при этом должно быть положительно определенное);

2. Построить математическую модель задачи, определив функционал (задать матрицу ), определить и задать ограничения (система должна обеспечить динамику системы);

3. Построить уравнение Реккати, выбрать методы его решения, получить ;

4. Построить оптимальную стабилизирующую обратную связь для определения оптимального управления ;

5. Оценить качество функционирования системы путем вычисления – оптимального значения функционала;

6. Построить оптимальный регулятор.

Принцип максимума Понтрягина

Принцип максимума является единым методом, позволяющим решать разнообразные задачи оптимального управления непрерывными, дискретными, линейными, нелинейными системами.

Рассмотрим принцип максимума для задачи оптимального управления типа Лагранжа.

;

; ;

;

.

Принцип Понтрягина:

1. Он ввел расширенное описание системы, для этого было введено следующее обозначение ;  ; ; . 

2. Ввел вспомогательную вектор-функцию , такую что ;  Все компоненты являются непрерывные дифференциальные функции, имеющие непрерывные производные во всех точках, кроме точек разрыва .

3. – гомильтониан системы  и  ;  ; ; ; – канонически сопряженное уравнение  ; ; .

Теорема

Если функция оптимального управления, а оптимальная траектория, то существует не нулевая непрерывная вектор-функция такая что: функция (гамильтониан) в любой момент времени вдоль оптимальной траектории достигает максимума.

Принцип максимума который является необходимым, а в случае достаточным позволяет определить оптимальное управление как в виде явно зависящем от времени, так и как функцию координат состояния системы.

На основании теоремы алгоритм решения задачи следующий:

1. проверить управляемость системы, т.е. невырожденность пар матриц

2. составить математическую модель задачи оптимизации, т.е. задать функционал

3. построить функцию Гамильтона

Пример

Дана система в виде:

Построит регулятор системы такой, что после замыкания обратной отрицательной связью система должна иметь следующие корни характеристического уравнения:

, ;

запас устойчивости .

Решение:

1. ; ; ; ; ; ; ; .

2. ; ; ; ; ; ; ; ; ; Характеристический многочлен (метод Гурвица) ; ; ; ; ; ;

3. ; ;

4. ; ; ; ; ; При условии если матрица динамики находится в форме Калмана, тогда ; ;

5. Если исходная система находится в форме Калмана, то матрица имеет вид ; – единичная матрица, если в форме Калмана ; .

Методы линейного программирования

Исследование операций – комплекс научных методов, предназначенных для анализа и обоснования решений во всех областях целенаправленной деятельности человека

(широко используется для разработки ERP-систем Enterprise Research Planning).

Операция – это любое мероприятие или система действий объединенная единым замыслом и направленной к достижению единой цели.

Операция должна быть управляемой, т.е. должны существовать возможности воздействия на операции с целью выбора лучшего способа ее осуществления.

Решением называется всякий определенный способ осуществления операции.

Оптимальным решением называются те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других.

Качество или эффективность операции – это свойство характеризующее степень приспособленности операции к выполнению поставленной задачи (требования).

Показатель качества операции – количественная мера качества операции.

Основные этапы исследования операции:

1. Постановка задачи;

2. Построение модели операции;

3. Поиск решения;

4. Корректировка модели;

5. Реализация.

Модели операции

Модель – приближенное описание операции (один и тот же объект может иметь много различных моделей).

;

; - вектор управляемых переменных

- вектор неуправляемых переменных

Требования к модели:

1. Модель должна обеспечивать достаточную точность оценки критериев во всей области возможных решений ; (омега – область допустимых значений)

2. Модель должна использовать только ту информацию, которая доступна;

3. Модель должна быть достаточно простой, чтобы ее использование было возможно и целесообразно при исследовании операций.

Типы моделей:

1. Описательная модель

• сценарии;

• таблицы;

• анкеты.

2. Графические модели

   • блок-схемы;

   • графы состояний;

   • сети;

   • деревья.

3. Физические модели

   • аналоговые модели;

   • масштабные модели.

4. Математические модели

   • аналитические;

   • имитационные модели.

Этапы построение моделей:

1. Определение множества переменных, которые существенно влияют на показатели эффективности операции;

2. Выбор структуры, вида модели Например, (функционал зависит от ряда функций) – обобщенный критерий.

3. Оценка параметров коэффициентов ;

4. Поиск решений.

Поиск решений

Задача заключается в поиске значений , который обеспечивает наибольшую эффективность операции в соответствии с целевой функцией при выполнении ограничений

.

Варианты задачи поиска решений

1. Известны значения переменных , , которые заданы следующим образом: ;

2. , линейны по , тогда методами решения этой задачи являются методы линейного программирования;

3. Если хотя бы одна из них не линейна по , то применяют методы нелинейного программирования;

4. Если хотя бы одна из переменных , где дискретна, то используют методы дискретного целочисленного программирования;

5. Если переменные случайные величины и известны законы их распределения, то модель называется вероятностной и вместо детерминированной величины используют некоторые характеристики распределения случайной величины;

6. Если полностью неизвестная величина, то тогда методом поиска решения называются методы принятия решений в условиях неопределенности;

7. Если является результатом активного действия противника, то поиск решения осуществляется на основе математического аппарата теории игр.

Корректировка модели

1. Анализ модели с точки зрения разумности и приемлемости полученных решений;

2. Анализ чувствительности моделей к малым вариациям исходных данных. (малые изменения исходных данных не должны резко менять решение).