Часть 2. Функции нескольких переменных глава 1. Функции двух переменных, их график, непрерывность

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R²={(х,y)} на плоскости, т.е. DR², а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZR.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (х,y) множества D соответствует один и только один элемент z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется областью определения функции и обозначается D(z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

z=f(х;y), (х;y)  D(z).

Приведем примеры функций двух переменных, заданных аналитически.

Пример 1. z = -2x+3y+6, D(z)=R².

Здесь каждой паре действительных чисел (x₀, y₀) соответствует одно и только одно действительное число

z₀ = -2x₀,+ 3y₀+6.

Например, z(0;0) =

и т.д.

Пример 2. z = x² + y², D(z) = R².

Очевидно, z(0; 0) = 0; z(-2; 3) = 13, z(1; 4) = 17 и т.д.

Множество значений z, каждый элемент которого соответствует определенной точке (х; y)D(z), называется областью значений этой функции. Область значений функции z=f(х;y) принято обозначать Е(z). Так, в примере 1 Е(z)=R, а в примере 2 E(z)=[0;+].

Ф ункция считается заданной, если указаны множества D(z)R², E(z)R и соответствие f. Причем соответствие f может быть задано, как и в случае функций одной переменной, различными способами (аналитически, таблично, графически, описанием и т.д.).

Геометрическим изображением функции двух переменных z=f(x; y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции (рис.).

Пусть в пространстве выбрана прямоугольная система координат OXYZ. Рассмотрим функцию z=f(x; y), определенную в области D(z). Как и ранее, область определения изображается некоторым множеством точек плоскости XOY. Каждой точке М₀(х₀; y₀)D(z) ставится в соответствие точка пространства Р(х₀; y₀; z₀), аппликата которой равна значению функции в точке М₀:

z0 = f(x₀; y₀).

Множество всех таких точек пространства представляет собой некоторую поверхность, которую примем за график функции z = f(x; y). Так, например, графическим изображением функции z = -2х + 3y + 6 примера 1 служит плоскость, проходящая через точки А(0;0; 6), В(+3; 0; 0), С (0; -2; 0).

Чтобы выяснить, что представляет собой график функции , можно обе части этого выражения предварительно возвести в квадрат и затем привести к виду x² + y² + z² = 9. Если x² + y²=9 уравнение окружности, то очевидно наше уравнение – это уравнение поверхности шара. Рассматриваемая функция представляет, очевидно, только верхнюю половину поверхности шара.

Понятие предела функции двух переменных аналогично понятию предела функции одной переменной, за исключением того, что -окрестностью на плоскости будет не интервал, а круг радиуса .

Число А называется пределом функции f(x;y) при хх₀, yy₀, если для любого  >0 найдется такое _ >0, что для всех точек Х(х;y), таких, что

, выполняется неравенство

Заметим, что сформулированное выше определение предела функции двух аргументов в логическом отношении совпадает с определением предела функции одного аргумента. Следует ожидать, что все теоремы о пределах, изученные нами для случая функции одной переменной, переносятся на функции двух переменных. Здесь будут справедливыми теоремы о пределе суммы, произведения, частного и целый ряд других теорем теории пределов. Поэтому при вычислении пределов функций двух аргументов можно широко пользоваться этими теоремами.

Например:

Пример 1. Вычислить

Решение. Применив теоремы о пределах, получим

Пример 2. Вычислить .

Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах, получим

.

Так же, как и для функции одного переменного.

Функция f(x; y) называется непрерывной в точке (х₀; y₀), если предел f(x; y) при хх₀, yy₀ существует и совпадает с f(х₀; y₀), т.е.

или

Функция f(x;y) называется непрерывной в точке (x₀;y₀), если ее приращение в этой точке стремится к нулю, когда приращения независимых переменных стремятся также к нулю .

Как и в случае функции одной переменной здесь можно говорить о трех условиях непрерывности. Действительно, если предположить, что f(x; y) непрерывна в точке (x₀; y₀), то должны одновременно выполняться следующие условия:

I) f(x; y) определена в точке (x₀; y₀), т.е. f(x₀; y₀) существует;

2) существует;

3) .

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, функция не будет непрерывной в точке. Говорят, что функция будет разрывной в точке, или функция терпит разрыв в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке области D называется непрерывной в области D.

Для функции двух переменных точки разрыва могут обладать разнообразными особенностями. Множество точек разрыва может, в частности, состоять из точек некоторой линии. Такие линии называются линиями разрыва. Так, функция будет иметь линией разрыва прямую х=y.

Заметим, что график непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и дырок, даже точечных.

В заключение отметим, что все теоремы, устанавливающие свойства непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и при переходе к функциям двух аргументов.