3. 5. Способы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы.

3.5.1. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

Ввиду того, что интеграл есть первообразная от , можно написать:

С другой стороны, в силу формулы Ньютона — Лейбница имеем:

Этими двумя соотношениями выявляется точный характер связи между определенным и неопределенным интегралами.

Формула Ньютона — Лейбница показывает, что для вычисления определенного интеграла мы получили теперь хороший способ — неопределенное интегрирование. Нам уже известно, что правила интегрирования суммы и произведения постоянной на функцию имеют место и в определенном интеграле. Теперь мы рассмотрим правила интегрирования по частям и замены переменной.

Оказывается, что и эти правила неопределенного интегрирования могут быть непосредственно применены к определенному интегралу.

I. Правило интегрирования по частям:

(A)

где u и v — функции независимой переменной.

Доказательство. Имеем:

отсюда непосредственно и следует доказываемая формула.

Вместо того чтобы до конца довести неопределенное интегрирование по частям, а затем выполнить двойную подстановку, можно сразу воспользоваться формулой (А).

Предварительное полное отыскание неопределенного интеграла требует более громоздких выкладок.

II. Правило замены переменной (подстановки).

Если в интервале функции , и непрерывны и то

(Б)

Доказательство. Преобразуем неопределенный интеграл при помощи подстановки

где — первообразная от функции

Рассматривая u как функцию от х, определяемую зависимостью , получим:

С другой стороны,

и мы приходим к равенству (Б).

Из формулы (Б) видно, что подынтегральное выражение преобразуется так же, как и в случае неопределенного интеграла. Что же касается пределов интегрирования, то заданные пределы x₁ и х₂ связаны с новыми и₁ и u₂ так же, как заданная переменная х с новой переменной и.

Итак, вместо того чтобы, выполнив при помощи замены переменной неопределенное интегрирование, вернуться к первоначальной переменной, а затем вычислить двойную подстановку в данных пределах, можно сразу взять двойную подстановку в новых пределах. Результат — значение определенного интеграла — получится тот же, а выкладок потребуется меньше.

Новые пределы интегрирования и₁ и u₂ являются корнями уравнений и относительно неизвестной и.

Часто замена переменной в определенном интеграле производится по формуле , а по формуле , выражающей новую переменную через заданную. Тогда новые пределы и₁ и и₂ сразу определяются по формулам

При этом теорема о замене переменной заведомо будет справедлива, если функция в интервале монотонна и имеет производную, отличную от нуля; тогда и обратная функция будет обладать теми же свойствами.

Пример. Выведем формулу для интеграла, взятого по симметричному интервалу

в случаях, когда подынтегральная функция четна и нечетна. Представим этот интеграл так:

Заменив переменную интегрирования в первом интеграле в правой части по формуле , получим:

Таким образом,

Подынтегральная функция в правой части равна нулю, если — функция нечетная, и равна , если — функция четная. Следовательно,

Эти формулы очень полезны. Можно, например, сразу сказать, не производя вычислений, что

Рекомендуем читателю выяснить геометрический смысл выведенных формул.