Глава 3. Производная функции

3.1. Нахождение производной

Мы уже говорили о том, что функция у=f(х) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции y .

Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения функции y к вызвавшему его приращению аргумента x

Правило: эта функция называется производной от функции у(x) и обозначается у´(x)

Найдем производную для функции у=х² в соответствии с определением производной.

Придадим аргументу приращение x, ему будет соответствовать приращение функции

Положим, что значение х фиксировано

так как x - бесконечно малая. Итак, получили = 2х

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке х₀ называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале (а,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Обычно таким способом производную не вычисляют, т.к. формулы дифференцирования выведены и сведены в таблицу производных, в которую просто заглядывают и находят нужную производную.

у=с у´=0

у=хⁿ у´=nx^n-1

у=а^х у´=а^хlna

y=e^x у´=e^x

y=log_ax у´=

y=lnx у´=1/x

y=sinx у´=cosx

y= cosx у´= -sinx

y=tgx у´=1/cos²x

y=ctgx у´= -1/sin²x

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx у´=1/(1+x²)

y=arcctgx у´=-1/(1+x²)

y=shx у´=chx

y =chx у´=shx

y=thx у´=1/ch²x

y=cthx у´=-1/sh²x

3.2. Связь непрерывности и дифференцируемости функции

Из уже известных нам свойств пределов очевидно, что если функция у(x) имеет конечный предел ,

то предел произведения этого соотношения на бесконечно малую тем более конечен и, более того, равен нулю.

, а – это означает непрерывность функции. То есть если функция дифференцируема, то она непрерывна.

То, что обратное неверно, видно из примера:

1. Рассмотрим функцию в точке

Предел слева существует, конечен и равен пределу справа, и значение функции в точке совпадает со значением предела.

Следовательно, функция непрерывна в нуле.

2. Выражение для производной функции у

, то есть отношение имеет в точке x=0 левый предел (-1), а правый предел – (+1), а это означает, что предела она не имеет, то есть производной в точке х=0 не существует.

Видим, что функция, непрерывная в точке х=0, производной в этой точке не имеет.

3.3. Производные высших порядков, дифференцирование

Аналогично тому, как мы взяли производную от любой дифференцируемой функции f(x) мы можем взять и производную от функции . Это будет вторая производная функции y=f(x). Она обозначается или . Если мы повторим операцию дифференцирования ещё раз, – получим третью производную и так далее.

Например, для функции y=x³ =3x², =6x, =6, y⁽⁴⁾=0 и т.д.

Рассмотрим более подробно приращение этой функции.

как видим, приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых

1) линейного относительно

2) нелинейного → то есть содержащего Δх в квадрате.

При x0 оба слагаемых являются бесконечно малыми, то есть стремятся к нулю, но при этом второе слагаемое стремится к нулю быстрее. Из-за этого приращение функции можно считать приближенно равным его линейной части. Это первое слагаемое называется главной, линейной частью приращения или дифференциалом этой функции.

Обозначается дифференциал так

Для независимой переменной дифференциал равен приращению то есть x=dx.

Тогда или, если выразить отсюда производную

То есть производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной. Часто это отношение dy/dx рассматривается просто как символ означающий производную y по аргументу x.