1.4. Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y=xⁿ

2) показательная функция y=a^x

3) логарифмическая функция y=log_ax

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке

Это свойство функций и называется непрерывностью в точке х₀.

Функции, полученные из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа композиций, называются элементарными.

При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими основными теоремами о пределах:

1. , где С-константа 2. Константа выносится изпод знака предела.

Если пределы существуют и конечны, то

3. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов.

4.

5. , если

Предел произведения равен произведению пределов. Предел частного равен частному пределов.

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

Например, зная лишь, что нельзя сказать заранее, чему равен

Говорят, что имеет место неопределенность вида

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1. сокращение на множитель, создающий неопределенность

2. деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при x)

3. применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших

4. использование двух замечательных пределов:

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел ,

А также следующие свойства (*)

если , т.е. .

если , т.е. .

если а , т.е. .

если а , т.е. .

Рассмотрим конкретные примеры пределов:

1. Найдем

Воспользуемся свойством предела суммы:

Воспользуемся свойствами о пределе константы и выносе константы за знак предела:

Так как под знаком предела у нас находятся основные элементарные функции, подставляем вместо х его предельное значение 1 и получаем: Z₁=3+2+5=10

2.Найдем

Под знаком предела стоит композиция основных элементарных функций – элементарная функция. Подставляем вместо х его предельное значение равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе бесконечно малую функцию.

3. Найдем

так как существует и конечен, существует, конечен и не равен 0, то

4. Найдем

Подстановка предельного значения в знаменатель дает предел, равный нулю. Следовательно мы имеем отношение константы к бесконечно малой (соотношения *) { c/0}

5. Найдем

Подстановка предельного значения приводит к неопределенности. Затем делим на старшую степень х~х².

6. Найдем

Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности типа . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х⁴.

поскольку при x функции являются бесконечно малыми.

7. Рассмотрим неопределенность вида { -}

При раскрытии неопределенности этого вида достаточно домножить и разделить выражение под знаком предела на сопряженное ему выражение

8. Неопределенность вида {0/0}.

При подстановке предельного значения получается неопределенность вида {0/0}. Это вызвано тем, что и многочлен в числителе и многочлен в знаменателе имеют –1 своим корнем. Следовательно, надо сократить дробь на критический множитель х+1 выделив его предварительно:

подставляем предельное значение и пользуясь свойствами пределов, получаем:

9. Найдем

Имеем неопределенность вида {0/0} в тригонометрическом выражении. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела, но в первом замечательном пределе знаменатель дроби и аргумент синуса должны совпадать. Следовательно, домножим и разделим на 5х, чтобы получить

так как при то первый сомножитель стремится к единице и

10. Найдем

Z₁₀ содержит неопределенность {0/0} в тригонометрическом выражении. Попытаемся обратиться к первому замечательному пределу. Для этого надо числитель заменить выражением, содержащим синус по известной тригонометрической формуле cos двойного угла:

11. Найдем

Здесь неопределенность {0/0}, к которой приводит предел выражения, содержащего обратные тригонометрические функции. Сделаем замену переменных. Возьмем за новую переменную arcsin(x-1), тогда мы получим выражение подобное первому замечательному пределу: (y=arcsin(x-1)).

Заметим, что при то есть ,

12. Найдем .

Здесь имеет место неопределенность типа {1^}

При раскрытии неопределенностей такого вида пользуются вторым замечательным пределом.

т.к. при то положим

Обратимся теперь подробнее к вопросу о непрерывности функций.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое функция? Ее область определения и область значений.

2. Что такое сложная функция?

3. Дайте определение предела функции в т. х₀ слева, справа, вообще определение предела.

4. Какие свойства пределов Вы знаете?

5. Какие бесконечно малые называются бесконечно малыми одного порядка?

6. Какие бесконечно малые называются эквивалентными бесконечно малыми?