Глава 3. Определенный интеграл

3.1. Введение определенного интеграла

Некоторые задачи геометрии и физики. Как и к другим фундаментальным понятиям математики, к понятию интеграла приводят разнообразные вопросы других конкретных наук. Мы рассмотрим, прежде всего, такие важные задачи, как определение площади плоской фигуры и работы переменной силы. Разберем каждую из этих задач в отдельности.

I. Площадь криволинейной трапеции. Теория площадей исходит из двух положений:

1) площадь фигуры, составленной из нескольких фигур, равна сумме площадей этих фигур;

2) площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

В

Рис.1

элементарной геометрии, опираясь на эти положения, находят площадь треугольника, а также и площадь многоугольника, так как всякий многоугольник может быть разбит на треугольники. С помощью предельного перехода по площадям правильных вписанных и описанных многоугольников определяется площадь круга. Однако при этом используются особые геометрические свойства фигуры (круга), что в других случаях делается очень затруднительным.

Фигуру, площадь которой нужно определить, мы будем рассматривать в плоскости, снабженной системой декартовых координат.

Криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную осью Ох, линией, с которой любая прямая, параллельная оси Оу, пересекается не более чем в одной точке, и двумя прямыми х = а и х = b (рис. 1); интервал оси Ох назовем основанием¹⁾ криволинейной трапеции.

Обычно фигуру можно разбить на некоторое число криволинейных трапеций и, таким образом, искомую, площадь определить как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций, составляющих эту фигуру. Так, например, площадь фигуры, изображенной на рис. 2, может быть представлена в виде следующей алгебраической суммы:

п.л. - п.л. + п.л. - п.л.

О тсюда следует, что для отыскания площади любой фигуры достаточно уметь находить площадь криволинейной трапеции.

Пусть криволинейная трапеция с основанием ограничена некоторой линией АВ, заданной уравнением , где — непрерывная в интервале функция.

Будем пока предполагать, что >0 в интервале , т. е. что трапеция расположена над осью Ох. Разделим основание трапеции — интервал — на п частичных интервалов посредством точек (рис. 1). В этих частичных интервалах возьмем совершенно произвольные точки , так что . Рис. 2

Проведем ординаты линии АВ, соответствующие абсциссам ; очевидно, мы имеем:

На частичных интервалах как на основаниях построим п прямоугольников с высотами, равными соответственно ординатам (рис. 1). Мы получили п-ступенчатую фигуру, которую также можно рассматривать как криволинейную трапецию с заданным основанием , но ограниченную не заданной линией , а ломаной

Площадь этой n-ступенчатой фигуры мы будем считать приближенным значением площади s заданной криволинейной трапеции, вообще говоря, тем более точным, чем больше п и чем меньше длины* частичных интервалов. Другими словами, мы исходим из того естественного и наглядного представления, что чем больше число прямоугольников и чем они уже^, тем теснее построенная указанным сейчас способом ломаная линия примыкает к заданной линии и тем лучше площадь соответствующей n-ступенчатой фигуры должна выражать площадь s заданной трапеции. Отсюда ясно, что площадью s криволинейной трапеции, ограниченной линией (рис. 1), следует назвать предел, к которому стремится переменная площадь п-ступенчатой фигуры, ограниченной ломаной линией , при неограниченном увеличении числа п и при стремлении к нулю наибольшей длины частичных интервалов.

С

Рис.3

ледует иметь в виду, что точки произвольны, но необходимо, чтобы при неограниченном увеличении числа п частичных интервалов длина наибольшего из них действительно стремилась к нулю. Если этого не предусмотреть, то может так случиться, что ступенчатая фигура не будет неограниченно приближаться к криволинейной трапеции. В самом деле, будем увеличивать число точек деления основания так, например, чтобы какой-нибудь частичный интервал, пусть (рис. 3), оставался неизменным. Тогда ломаная может неограниченно приближаться к дуге АС заданной линии , но вовсе не будет приближаться к дуге СВ, и постоянная часть трапеции сСВb не будет при этом процессе покрываться нашими фигурами. Таким образом, по площадям этих фигур мы никак не сможем определить площадь трапеции. Если же указать, что длина наибольшего частичного интервала — обозначим ее через — стремится к нулю, то из этого следует, что число п частичных интервалов неограниченно возрастает.

Напишем теперь выражение для . Вся фигура состоит из п прямоугольников, площадь каждого из которых выразить легко; именно площадь прямоугольника, соответствующего (i+1)-му частичному интервалу, очевидно, равна

Значит,

или

Все слагаемые этой суммы имеют один и тот же вид: отличаются они друг от друга только значениями индекса (указателя) при независимой переменной. Для сокращения записи вводят символ (греческая прописная буква «сигма») — символ суммы, именно пишут:

(*)

Этот символ вообще означает, что нужно сложить выражения данного вида, придавая индексу все целые значения от значения, указанного под символом «сигма», до значения, указанного над символом «сигма».

В соответствии с определением площади s имеем:

Как указано выше, мы считаем, что переход к пределу совершается при условии

II. Работа переменной силы. Обратимся теперь к важной задаче физики — к определению работы. Мы увидим сейчас, что определение работы будет вполне аналогично определению площади трапеции.

Пусть под действием некоторой силы тело движется по прямой линии, причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется определить работу, произведенную при перемещения тела из положения М в положение N (рис. 4). Если на протяжении всего пути от М к N сила остается постоянной, то, как известно, работа определяется как произведение силы на длину пути. Обозначим через А работу, через Р — силу, через S — длину пути MN. Тогда¹⁾

A=PS.

П

редположим, однако, что сила на пути от М к N изменяется. В каждой точке между М и N, находящейся на расстоянии s от точки М, действующая сила принимает соответствующее значение Р. Это значит, что сила Р есть некоторая функция расстояния s, т. е. . Как определить работу, совершенную при перемещении тела из точки М в точку N в этом случае?

Разобьем весь путь MN, т. е. интервал изменения переменной s, на п участков точками, находящимися на расстояниях

от точки М. Вместо действующей на пути MN переменной силы Р возьмем другую силу Р_n, сохраняющую постоянные значения на каждом из наших участков, причем эти значения положим равными значениям действующей силы Р в каких-нибудь точках участков. На первом участке эта сила равна , где ; на втором она равна , где на (i+1)-м участке она равна , где и т. д.

Так как работа на всем пути равна сумме работ, соответствующих отдельным участкам, на которые разбит путь, то для работы , произведенной силой , будем, очевидно, иметь:

Величину мы полагаем приближенным значением искомой работы, вообще говоря, тем более точным, чем больше число п и чем меньше участки, на которые разбивается весь путь MN. Работу A определяют как предел при ; при этом, как и раньше, предполагается, что длина наибольшего из частичных участков стремится к нулю:

III. Путь. Скажем кратко еще об одной задаче физики - об определении пути. Решение этой задачи будет произведено совершенно так же, как и предыдущих.

1) Предположим, что точка совершает поступательное движение, причем известна величина скорости v в любой момент времени t в некотором промежутке , т. е. .

Путь s, пройденный точкой за промежуток времени , определяется так:

где — точки, разбивающие интервал на п частичных интервалов, причем

и

мы опять считаем, что . Каждое слагаемое суммы дает путь, который прошло бы тело за промежуток времени , если бы оно двигалось в это время с постоянной скоростью, равной .

Определенный интеграл. Теорема существования. В предыдущем пункте мы видели, что решение некоторых важных задач геометрии и физики (определение площади, работы, пути) приводит к одной и той же последовательности действий над известными функциями и их аргументами. Раз эта последовательность действий применяется в различных случаях и имеет большое значение, то мы установим ее математически, независимо от конкретных условий той или иной задачи. Тогда и применение ее в каждом отдельном подходящем случае будет заранее узаконено и не будет требовать специальных рассуждений.

Если отвлечься от физического смысла переменных и от их обозначений, то указанная последовательность действий состоит в следующем:

1) интервал , в котором задана непрерывная функция (теперь мы отбросим предположение, что в интервале ), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек , причем

2) значение функции в какой-нибудь точке -го частичного интервала умножается на длину этого интервала , т. е. составляется произведение ;