4. Отыскание критической точки.

Пусть нулевая гипотеза правильная, и пусть К > k _кр > 0. Зададимся уровнем значимости α. Из условия, когда нулевая гипотеза справедлива, а по основному правилу ее надо отвергнуть, получаем, что Р (К > k _кр ) = α. Из этого уравнения и находится критическая точка. В случае, когда критическая область двусторонняя, критическая точка находится из уравнения

Р (К > k _кр ) = α/2.

5. Этапность проверки гипотез.

Если стоит задача проверки гипотезы, то практически эту процедуру осуществляют в несколько этапов.

Этап 1. Рассматривают выборку х₁, х₂,…., х_к заданного объема n. Руководствуясь конкретными условиями задачи, выдвигают гипотезы основную Н_о и конкурирующую Н₁ . Ясно, что задача сводится к поиску критической области или области принятия решения.

Этап 2. Задаются уровнем значимости α.

Этап 3. Выбирают случайную величину К = К(х₁, х₂,…., х_к), которая будет служить критерием для проверки гипотезы. Случайная величина К при выполнении нулевой гипотезы подчиняется некоторому закону распределения, заданному таблицей, по которой находится критическая точка и, следовательно, критическая область w.

Этап 4. Находится критическая область w и К_чис, проверяется принадлежность К_чис критической области w.

Этап 5. Этап принятия решения – использование основного правила.

6. Проверка гипотезы о числовых значениях параметров

нормального распределения генеральной совокупности.

Пусть исследуется генеральная совокупность на признак Х, который имеет нормальный закон распределения, т.е. Х = N(а, σ). Пусть математическое ожидание признака Х неизвестно. Для его поиска осуществляется выборка х₁, х₂,…., х_к заданного объема n. По выборке находится средняя выборочная х_в . Выдвигается гипотеза о равенстве генеральной средней и выборочной, при этом могут быть два случая. Рассмотрим их.

Случай А. Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально, причем генеральная средняя хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому значению ₀ (возможно, это выборочная средняя).

Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема.

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя х_в, причем генеральная дисперсия σ² известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: = ₀ о равенстве генеральной средней гипотетическому значению ₀.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину К = φ = (Х_в – а_о)√n/σ, которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы φ = N(0,1).

Поскольку критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, то рассмотрим три случая:

Н₁: а = а₁ > а_о ; Н₁: а = а₁ < а_о ; Н₁: а = а₁ ≠ а_о.

Случай 1.

Этап 1. Н_о: а = а_о ; Н₁ : а = а₁ > а_о.

Этап 2. Зададимся уровнем значимости α.

Этап 3. Выберем в качестве критерия случайную величину

φ = (Х_в – а_о)√n/σ, которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы φ = N(0,1).

Этап 4. Найдем критическую точку из уравнения

Р (φ = N(0,1) > х^кр_пр) = α.. Для поиска критической точки введем обозначения γ = 1 - 2α. Найдем критическую точку х^кр_пр = u из уравнения Р(φ > u) = α.

Схема нахождения критической точки:

α. –> γ = 1 - 2α. (по таблице) –> u –> х^кр_пр = u. Мы имеем правостороннюю критическую область (u, ∞) = w.

Этап 5. Найдем численное значение критерия φ_чис . Если φ_чис > х^кр_пр = u, то нулевая гипотеза отвергается; если φ_чис < х^кр_пр = u, то нет основания отвергать нулевую гипотезу.

Случай 2.

Н_о: а = а_о ; Н₁ : а = а₁ < а_о.. В этом случае мы имеем дело с левосторонней критической областью. Все рассуждения сохраняем как для правосторонней критической области, но за критическую точку х^кр_лев принимаем

(- u).

Случай 3.

Н_о: а = а_о ; Н₁ : а = а₁ ≠ а_о. В этом случае мы имеем двустороннюю критическую область. Рассуждая, как и в первых двух случаях, и используя уравнение Р (φ = N(0,1) > х^кр_пр) = α./2, получим схему для поиска критических точек:

α. –> γ = 1 - α. (по таблице) –> u –> х^кр_пр = u и х^кр_лев = - u. Мы имеем две критических области (- ∞, - u) и (u, ∞). Вывод делаем о принятии решения аналогично: если φ_чис < х^кр_лев или φ_чис > х^кр_пр , то нулевая гипотеза отвергается; если х^кр_лев < φ_чис < х^кр_пр , то нет основания для того, чтобы нулевая гипотеза была отвергнута.