1.2.4. Определение действительной величины отрезка прямой общего положения

Действительная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого равен величине одной из проекций, а другой – равен алгебраической разности расстояний концов другой проекции до разделяющей эти проекции оси. Угол, прилежащий к катету, равному проекции отрезка на плоскость, будет равен углу наклона отрезка к этой плоскости проекций.

Это определение наглядно иллюстрируется рис. 22 и 23. Построение прямоугольного треугольника действительных величин можно выполнять в любом удобном месте чертежа, но при решении достаточно простых, не слишком насыщенных вспомогательными линиями задач построение можно производить прямо на эпюре.

1.2.5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Вариантов взаимного расположения прямых в пространстве всего три:

1. Прямые пересекаются.

2. Прямые параллельны.

3. Прямые скрещиваются.

Пересекающиеся прямые имеют общую точку. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций лежат на одной линии проекционной связи (рис. 24).

Параллельные прямые не имеют общих точек. Отличительным признаком таких прямых на эпюре является то, что у параллельных прямых одноименные проекции параллельны (рис. 25). Если m // n, то m' // n' , а m″ // n″.

Для того чтобы узнать, параллельны ли прямые частного положения, нужно удостовериться, что параллельны проекции прямых на ту плоскость, которой параллельны сами прямые. Ниже представлен случай, когда горизонтальные и фронтальные проекции прямых AB и CD параллельны, но на профильной проекции видно, что на самом деле прямые скрещиваются (рис. 26).

Скрещивающиеся прямые – это непараллельные прямые, расположенные в параллельных плоскостях. Проекции их могут пересекаться, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии проекционной связи. Точки пересечения проекций называются конкурирующими. Конкурирующие точки – это точки, у которых значения двух координат равны, а значение третьей координаты – различаются. С помощью конкурирующих точек можно определить видимость, т. е. узнать какой из объектов расположен выше или ближе к наблюдателю (рис. 27). В данном случае из расположения горизонтальных проекций конкурирующих точек 1 и 2 видно, что в этом месте прямая n находится ближе к наблюдателю (Y₂>Y₁). А из расположения фронтальных проекций конкурирующих точек 3 и 4 ясно, что в этом месте прямая m расположена выше прямой n (Z₃>Z₄).

1.2.6. Теорема о проецировании прямого угла

Если стороны любого угла не параллельны плоскостям проекций, то на эти плоскости угол проецируется с искажением, даже если этот угол прямой. Но в том случае, если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая сторона этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость угол проецируется без искажений, т.е. как прямой (рис. 28).

Доказательство этой теоремы для ортогонального проецирования несложно. Пусть имеется прямой угол ABC, сторона ВС которого параллельна плоскости H, а сторона AB не параллельна и не перпендикулярна этой плоскости.

BC ┴ AB (по условию), BC ┴ BB′ (BC// H, BB′ ┴ H, следовательно, BB′ ┴BC), следовательно, BC ┴ ABB′A′ (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Но BC // B′C′ ┴ B′C′, следовательно, B′C′ ┴ ABB′A′ (если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна этой плоскости). Таким образом, B′C′ ┴ A′B′.

Задача

Определить расстояние от точки C до прямой AB.

Решение (рис. 29)

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В ортогональном проецировании, если плоскость угла не параллельна плоскости проекций, то величина угла при проецировании на эту плоскость искажается, даже если этот угол прямой. Но в том случае, когда одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона этой плоскости не перпендикулярна, – прямой угол проецируется равным 90^о, т. е. без искажения.

1. Поскольку прямая AB параллельна горизонтальной плоскости проекций (это видно из того, что ее фронтальная проекция A″B″ параллельна оси x), то угол между прямой AB и перпендикуляром CD, опущенным на нее из точки C, проецируется на плоскость H без искажения, т. е. как прямой.

2. Так как сам отрезок CD не параллелен ни одной из плоскостей проекций, необходимо определить его действительную величину любым доступным способом, например, способом прямоугольного треугольника.