1.1.1. Положение точки в пространстве

Точки могут располагаться в любой области пространства. Для понимания того, в каком октанте пространства находится точка, достаточно понять положительное или отрицательное значение принимает каждая из координат (табл. 1).

Таблица 1

Октант	X	Y	Z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VII	-	+	-

Примеры эпюров точек, расположенных в различных октантах, представлены на рис 8.

	yH

Рис. 8

Если значение одной из координат равно нулю, то точка принадлежит плоскости проекций (рис. 9).

Если z_A= 0, т. е. расстояние от горизонтальной плоскости проекций равно 0, то А Н.

Если y_A= 0, т. е. расстояние от фронтальной плоскости проекций равно 0, то А V.

Если x_A= 0, т. е. расстояние от профильной плоскости проекций равно 0, то А W.

Рис. 9

Если значения двух координат равны нулю, то точка принадлежит оси координат (рис. 10).

Если y_A = z_A = 0, то A ox.

Если x_A = z_A = 0, то A oy.

Если x_A = y_A = 0, то A oz.

Рис. 10

Если же все три координаты равны 0, то точка находится в начале координат.

1.2. Проецирование прямой линии

Положение прямой в пространстве вполне определяется положением двух точек, принадлежащих этой прямой.

1.2.1. Инвариантные свойства прямой

Инвариантные (независимые), т. е. свойства прямой, не зависящие от метода проецирования. Ниже перечислены основные инвариантные свойства прямой для ортогонального проецирования:

1. проекция прямой есть прямая;

2. если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой;

3. если точка делит прямую в пропорциональном отношении, то ее проекция делит проекцию прямой в том же отношении.

1.2.2. Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. В общем случае прямая пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа (рис. 11).

На эпюре положение каждого следа может быть задано тремя его проекциями (так же, как и положение любой точки пространства):

H (H′, H″, H″′)

V (V′, V″, V″′)

W (W′, W″, W″′)

Задача

Построить следы прямой m и определить, через какие октанты проходит прямая.

Решение (рис. 12)

1. Для построения горизонтального следа H прямой нужно фронтальную проекцию прямой продлить до пересечения с осью x в точке H″, которая является фронтальной проекцией горизонтального следа прямой m. Горизонтальная проекция горизонтального следа, точка H′, которая совпадает с самим горизонтальным следом H, будет находиться на линии проекционной связи и на горизонтальной проекции прямой m′. Профильная проекция горизонтального следа H′″ находится в точке пересечения профильной проекции прямой с осью y_w.

2. Для построения фронтального следа V_m прямой нужно горизонтальную проекцию прямой продлить до пересечения с осью x в точке V′_m, которая является горизонтальной проекцией фронтального следа прямой m. Фронтальная проекция фронтального следа, точка V″_m, которая совпадает с самим фронтальным следом V_m, будет находиться на линии проекционной связи и на фронтальной проекции прямой m″. Профильная проекция фронтального следа V′″ находится в точке пересечения профильной проекции прямой с осью z.

3. Для построения профильного следа W_m прямой нужно фронтальную проекцию прямой продлить до пересечения с осью z в точке W″_m, которая является фронтальной проекцией профильного следа прямой m. Профильная проекция профильного следа, точка W″′_m, которая совпадает с самим профильным следом W_m, будет находиться на линии проекционной связи и на профильной проекции прямой m″′. Горизонтальная проекция профильного следа W′ находится в точке пересечения горизонтальной проекции прямой с осью Y_H.

4. Для того чтобы определить, через какие октанты проходит прямая, нужно на одной из проекций прямой отметить проекции всех следов прямой. След прямой и есть точка перехода прямой из октанта в октант. После этого достаточно определить, в каком октанте находится хотя бы одна точка прямой в полученном интервале. В данном случае прямая проходит в IV – I – V – VI октантах.