1. Ортогональное проецирование

В этом случае можно сказать, что проекция – это основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекций (рис.3).

Однако положение одной проекции не определяет положение точки в пространстве. Если несколько точек расположены вдоль проецирующего луча, их проекции совпадут.

Для того чтобы достоверно определить положение точки в пространстве, используют метод, изобретенный в VIII веке французским инженером Гаспаром Монжем, – метод проецирования на две или три плоскости проекций.

В этом случае пространство разбивается тремя взаимно перпендикулярными плоскостями на 8 октантов (рис. 4).

На рис. 4, кроме обозначения плоскостей проекций и осей координат, показана нумерация октантов.

H – горизонтальная плоскость проекций.

V – фронтальная плоскость проекций.

W – профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей проекций называются осями координат.

При пересечении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций образуется ось x (H V → ox). Положительное направление оси x – влево. Ось x иначе называется осью абсцисс. А координата x – абсциссой.

При пересечении горизонтальной и профильной плоскостей проекций образуется ось y (H W → oy). Положительное направление оси y – перпендикулярно фронтальной плоскости проекций и направлено на наблюдателя. Ось y иначе называется осью ординат. А координата y – ординатой.

При пересечении фронтальной и профильной плоскостей проекций образуется ось z (V W → oz). Положительное направление оси z – вверх. Ось z иначе называется осью аппликат. А координата z – аппликатой.

1.1. Проецирование точки

Расстояние от точки до плоскостей проекций определяет положение точки в пространстве.

Координата x – определяет расстояние точки от плоскости проекций W.

Координата y – определяет расстояние точки от плоскости проекций V.

Координата z – определяет расстояние точки от плоскости проекций H.

Для построения горизонтальной проекции точки опустим из точки перпендикуляр на горизонтальную плоскость проекций H. Положение горизонтальной проекции точки будет определяться ее расстоянием от плоскостей проекций W и V, т. е. координатами X и Y_H. A′(x, y_H) (рис. 5).

Для построения фронтальной проекции точки опустим из точки перпендикуляр на фронтальную плоскость проекций V. Положение фронтальной проекции точки будет определяться ее расстоянием от плоскостей проекций W и H, т. е. координатами x и z. A″(x, z) (рис. 5).

Для построения профильной проекции точки опустим из точки перпендикуляр на профильную плоскость проекций W. Положение профильной проекции точки будет определяться координатами ее расстояния от плоскостей проекций V и H, т. е.y_W и z. A″′(y_W, z) (рис. 5).

Повторим:

Проекция на горизонтальную плоскость проекций H – A′(x, y_H).

Проекция на фронтальную плоскость проекций V – A″(x, z).

Проекция на профильную плоскость проекций W – A″′(y_W, z).

Такая система передачи информации о положении точки в пространстве достаточно наглядна, но сложна для анализа информации и решения практических задач. Поэтому на практике чаще всего передают информацию об объекте на плоском изображении, называемом эпюр.

Эпюр – это изображение, полученное в результате совмещения плоскостей проецирующего аппарата с картинной плоскостью (рис. 6). Картинной плоскостью называется плоский носитель, на котором выполняется изображение (лист бумаги, пленка, экран).

Задача

По заданным координатам точки A(40, 20, 30) построить ее проекции.

Решение (рис. 7)

Совместим фронтальную плоскость проекций с картинной плоскостью. При этом ось z получит положительное направление вверх, а ось x – влево. Положение фронтальной проекции точки А″ определяется легко. Значение координаты x отложим вдоль оси X, а значение координаты z – вдоль оси z. На пересечении линий проекционных связей определится положение фронтальной проекции А″.

Горизонтальная плоскость проекций при этом располагается перпендикулярно картинной плоскости. Для совмещения плоскости Н с картинной повернем ее вокруг оси x так, чтобы ось y получила положительное направление вниз. Положение горизонтальной проекции точки А′ строится просто.

Профильная плоскость проекций при этом располагается перпендикулярно картинной плоскости. Для совмещения плоскости проекций W с картинной повернем ее вокруг оси z так, чтобы ось y получила положительное направление вправо.

1. Провести и обозначить оси проекций.

2. Отложить на осях x, y и z проекций в выбранном масштабе отрезки, равные соответственно значениям координат

|OA_x| = x_A = 40,

|OA_yH| = |OA_yW| = y_A = 20,

|OA_z| = z_A = 30.

3. Через полученные точки A_x, A_y и A_z провести линии проекционной связи перпендикулярно осям проекций.

4. Точки пересечения линий проекционной связи определят положение проекций точки A.

5. Проверка: A′ и A″ должны находиться на одном перпендикуляре к оси x. A″ и A″′ должны находиться на одном перпендикуляре к оси z.

Нетрудно заметить, что положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее проекций, поскольку положение двух проекций точки определяется значением всех трех координат.

Таким образом, вполне возможно определение положения точки в пространстве не численным, а графическим заданием координат.