Геометрические приложения производной

Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке : , где (рис.1).

Рис. 1.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

.

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”— тупому.

Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции — парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны:

, , .

x₀ = 3 — абсцисса точки касания параболы и прямой , — ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Рис.2

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

, .

Пример1. Найти и , если функция задана параметрически: .

Решение. Последовательно находим производные: , ; , ;

, .

Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой

в точке t₀ = .

Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у – у₀= k ( x – x₀ ),

где x₀ = t₀ cos t₀ – 2sin t₀ = –­­ 2; у₀ = t₀ sin t₀ + 2 cos t₀= .

Найдем k = при t = t₀. Так как = cos t – t sin t – 2 cos t =– t sin t– cos t, = sin t + t cos t–2sin t= t cos t – sin t ,

то , поэтомy k при t = и уравнение касательной имеет вид:

.

Правило Лопиталя

При раскрытии неопределенностей , кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:

Eсли или и существует предел отношения их производных , то .

Это правило справедливо и в случае .

Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

а) ; б) ; в) .

Решение. Убедившись, что имеет место случай или , применяем правило Лопиталя.

а) ,

б) .

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

в) .

При раскрытии неопределенностей для применения правила Лопиталя, данное выражение, путем алгебраических преобразований, надо преобразовать к неопределенностям или .

Пример 2. Найти пределы:

а) ; б) .

Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:

.

При раскрытии неопределенностей , , рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.

Пример 3.Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность . Введем обозначение

, тогда . .

Получили неопределенность , применяем правило Лопиталя:

. Так как . Следовательно .