2.1 Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную

Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную чаще всего применяют два метода: метод поэтапного деления на основание системы счисления и метод разностей.

Пример 2.1.1 Перевод целого десятичного числа.

1 способ.

Получите запись числа 2023 (9) (в двоичной с.с. 11111100111) и числа 1964 (7) (в двоичной с.с. 1110101100) в соответствие с примером перевода первого числа 2023 показанного на рисунке 2.1. Проверьте правильность перевода, используя программу калькулятор (Пуск – Программы – Стандартные – Калькулятор).

2-способ.

Найдите запись исходного десятичного числа 47 – двух последних цифр номера зачетной книжки в двоичной системе счисления.

Решение. Воспользуемся методом поэтапного деления.

Метод поэтапного деления заключается в последовательном выполнении следующих действий:

1. Исходное число делим на основание системы счисления с остатком в десятичной с.с.

2. Если частное от деления не равно 0, выполняем п.1.

3. Полученные остатки записываем последовательно от последнего к первому.

4. Полученная запись – искомое двоичное число.

То есть, для того, чтобы перевести десятичное число в двоичную систему счисления, делим его на 2 «уголком» и выписываем получившиеся остатки в обратном порядке.

Рисунок 1 – Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления

Пример 2.1.2 Перевод десятичной дроби. Перевести пятое число 0,28 (8) в двоичную систему счисления с точностью до 10^–8.

Решение. Воспользуемся правилом перевода десятичной дроби в двоичную систему.

0,28 × 2 = 0,56. Первая цифра двоичного числа после запятой – 0.

0,56 × 2 = 1,12. Вторая цифра двоичного числа – 1. Оставляем дробную часть: 0,12.

0,12 × 2 = 0,24. Третья цифра двоичного числа – 0.

0,24 × 2 = 0,48. Четвертая цифра двоичного числа – 0.

0,48 × 2 = 0,96. Пятая цифра двоичного числа – 0.

0,96 × 2 = 1,92 Шестая цифра двоичного числа – 1. Оставляем дробную часть: 0,92.

0,92 × 2 = 1,84. Седьмая цифра двоичного числа – 1. Оставляем дробную часть; 0,84.

0,84 × 2 = 1,68. Восьмая цифра двоичного числа – 1. Оставляем дробную часть: 0,68.

Требуемая точность достигнута.

Следовательно, 0,28₁₀ = 0,01000111₂ с точностью до 10^–8.

Пример 2.3. Перевод смешанных десятичных чисел. Перевести шестое число 43,978 (9) в двоичную систему счисления с точностью до 10^–8.

Решение. Чтобы перевести смешанное число в другую систему счисления, нужно отдельно перевести целую и дробную части, а затем полученные результаты записать соответственно слева и справа от запятой.

Перевод целой части: Перевести десятичное число 43 в двоичную систему счисления.

Метод разностей. Для перевода чисел этим методом нам понадобится таблица степеней числа 2 (таблица 2).

Таблица 2 – Степени числа 2

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
2n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536

Какие степени «2» представлены в этом числе?

1) Ищем по таблице степеней двойки самое большее число, меньшее 43. Это 32.

2) Вычитаем 43-32=11

3) Для числа 11 ищем по таблице самое большее число, меньшее 11. Это 8.

4) Вычитаем 11-8=3.

5) Ищем по таблице степеней двойки самое большее число, меньшее 3. Это 2.

6) Вычитаем 3-2=1.

7) Для числа 1 остался единственный вариант это степень 20 = 1.

Теперь можем записать разложение числа 43 по степеням «2»:

43₁₀ =1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 101011₂

Обратите внимание: если целое двоичное число заканчивается на 0, то соответствующее ему десятичное число будет четным; если двоичное число заканчивается на 1, то соответствующее ему десятичное число будет нечетным.

Перевод дробной части: Перевести десятичную дробь 0,978 в двоичную систему счисления с точностью до седьмого двоичного знака.

0,978 × 2 = 1,956. Первая цифра двоичного числа после запятой – 1.

0,956 × 2 = 1,912. Вторая цифра двоичного числа – 1.

0,912 × 2 = 1,824. Третья цифра двоичного числа – 1.

0,824 × 2 = 1,648. Четвертая цифра двоичного числа – 1.

0,648 × 2 = 1,296. Пятая цифра двоичного числа – 1.

0,296 × 2 =0,592. Шестая цифра двоичного числа – 0.

0,592× 2 = 1,184. Седьмая цифра двоичного числа – 1.

Требуемая точность достигнута.

Следовательно, 0,978₁₀ = 0,1111101₂ с точностью до 10^–7.

Ответ: смешанное число 43,978₁₀ = 101011,1111101₂.