4.2.3 Логическая операция дизъюнкция (логическое сложение, логическое или)
Логическая операция дизъюнкция (логическое сложение):
в естественном языке соответствует союзу «или»;
в алгебре высказываний обозначается , + ;
в языках программирования обозначается or.
Дизъюнкция – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Дизъюнкцией элементарных высказываний «Две прямые на плоскости параллельны», «Две прямые на плоскости пересекаются» будет составное высказывание «Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются».
В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и элементов множества В.
Таблица истинности конъюнкции приведена в таблице 8, диаграмма Эйлера-Венна – на рисунке 7.
Таблица 8 – Таблица истинности дизъюнкции
A |
B |
A v B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
А В
Рисунок 7 – Диаграмма Эйлера-Венна
для дизъюнкции
4.2.4 Логическая операция исключающая дизъюнкция (строгая дизъюнкция, исключающее или, сложение по модулю 2)
Логическая операция исключающая дизъюнкция (eXcluding OR, строгая дизъюнкция, исключающее или, сложение по модулю 2):
в естественном языке соответствует союзу «либо»;
в алгебре высказываний обозначается ;
в языках программирования обозначается xor.
Исключающая дизъюнкция – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда истинно либо первое простое высказывание, либо второе, но не оба сразу.
Исключающей дизъюнкцией элементарных высказываний «Данное число четно», «Число больше данного на единицу, четно» будет составное высказывание «Данное число четно либо число больше данного на единицу, четно».
Исключающую дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию (17), (18):
(17)
,
(18)
,
Таблица истинности исключающей дизъюнкции приведена в таблице 9, диаграмма Эйлера-Венна – на рисунке 8.
Таблица 9 – Таблица истинности
исключающей дизъюнкции
A |
B |
A B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рисунок 8 – Диаграмма Эйлера-Венна для исключающей дизъюнкции
A
B
4.2.5 Логическая операция импликация (логическое следование)
Логическая операция импликация (от лат. «implico» – тесно связаны, логическое следование):
в естественном языке соответствует оборотам «если ..., то ...», «... влечет ...», «из ... следует»;
в алгебре высказываний обозначается .
Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Импликацией простых высказываний «Париж – столица Англии», «2х2=5» будет составное высказывание «Если Париж – столица Англии, то 2х2=5».
И
(19)
мпликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание (19):
Таблица истинности импликации приведена в таблице 10, диаграмма Эйлера-Венна – на рисунке 9.
Таблица 10 – Таблица истинности импликации
A |
B |
A B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
A
B
Рисунок 9 – Диаграмма Эйлера-Венна для импликации