2. Системы счисления

Система счисления (с.с.) – способ представления чисел посредством цифровых знаков. Существуют два типа систем счисления: позиционные (например, десятичная) и непозиционные (например, римская). В современной практике используются только позиционные системы счисления, поэтому далее рассматриваем только их.

Всякая позиционная система счисления характеризуется основанием – количеством различных цифр, используемых для записи чисел. Значение каждой цифры, входящей в состав числа, зависит от её места (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Десятичная система счисления, которая используется в повседневной практике, использует для записи чисел десять цифр (от 0 до 9).

Для составляющих ЭВМ элементов характерно два устойчивых состояния, поэтому в двоичной системе счисления используются только две цифры (0 и 1).

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления – вспомогательные. Применяются для записи машинных команд, некоторых констант и удобства программирования. Они удобны тем, что требуют для записи чисел соответственно в три и четыре раза меньше цифр, а перевод таких чисел в двоичную систему очень прост.

В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0, 1, 2, …, 7.

В шестнадцатеричной системе счисления для обозначения используется 16 различных цифр (0 – 15). А так как в десятичной системе имеется лишь 10 базовых цифр (0 – 9), то для обозначения остальных цифр берутся прописные латинские буквы: А=10, В=11, С=12, D=13, E=14, F=15.

В общем виде число А = a_na_n-1…a₀a_-1a_-2…a_-m представляет сумму произведений степеней основания системы на коэффициенты, указанные в цифровых разрядах (3):

A

(3)

_q= a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 +…+ a_iqⁱ +…+ a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + … +a_-mq^-m

Вычисления в десятичной системе счисления являются наиболее удобными (для людей, но не для компьютеров). Поэтому для перевода числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему его представляют, используя приведённую выше позиционную запись числа (3), как сумму степеней основания q, которую затем подсчитывают.

ЗАДАЧИ

Целью решения задач является получение практических навыков работы с числами в позиционных системах счисления. Для выполнения заданий необходимо сначала получить исходные числа по следующим правилам:

1. первое число – ваш вариант задания (13) – порядковый номер в списке группы, увеличенный на любое число из диапазона от 33 до 99 (33). Получим формулу (4):

1

(4)

(5)

3 + 33 = 46.

2. второе число – две последние цифры номера зачетной книжки (47), увеличенные на число в диапазоне от 33 до 99 (44). Получим формулу (5):

47 + 44 = 91.

3. третье число – сумма текущего календарного года и вашего варианта задания. Формула (6):

2

(6)

010 + 13 = 2023.

4. четвертое число – разница текущего календарного года и первого числа. Формула (7):

2

(7)

010-46 = 1964.

5. пятое число – частное от деления варианта задания на первое число. Формула (8):

1

(8)

3/46 = 0,28.

6. шестое число – частное от деления третьего числа задания на первое число. Формула (9):

2

(9)

023/46 = 43,978.