4.6.3 Решение логических задач с помощью логических выражений

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Пример 4.6.3.1 Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

– Вот увидишь, Шумахер не придет первым, – сказал Джон. Первым будет Хилл.

– Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, – воскликнул Ник. – А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

– Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

Ш – победит Шумахер; Х – победит Хилл; А – победит Алези.

Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину» не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Джон: ;

Ник: ;

Питер: .

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание:

Высказывание истинно только при Ш =1, А = 0, Х = 0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

ЗАДАЧИ

1. Вера, Анфиса и Катя отправили свои рисунки на конкурс. Перед этим их знакомый Петя, рассмотрев их работы, высказал три предположения:

а) Рисунок Веры займет лучшее место, чем рисунок Кати;

б) Рисунок Анфисы не будет худшим из рисунков этих трех девочек;

в) Рисунки Анфисы и Кати не займут соседние места.

По результатам конкурса оказалось, что работы этих трех девочек заняли первое, второе, третье места, и все предположения Пети были верными. Укажите, как распределились места.

2. Коля, Наташа и Оля участвовали в состязаниях по собиранию головоломок. Перед началом были сделаны следующие заявления:

Коля: «Я сумею обойти любую девчонку!»

Наташа: «Я буду не хуже Оли.»

Оля: «Я не буду последней среди нас троих.»

По итогам соревнований оказалось, что эти трое участников заняли первое, второе, третье места, а из высказанных предположений только высказывание Коли оказалось ложным. Укажите, как распределились места.

3. Красная Шапочка, Златовласка и Белоснежка пришли на бал в платьях трех разных цветов: красном, золотом и белом. Златовласка обратила внимание девушки в красном платье на то, что ни у одной из девушек цвет ее платья не упоминается в имени. Укажите, какого цвета платье было у каждой из девушек.

4. На кафедру приняли на работу трех преподавателей: Иванова, Петрова, Сидорова для преподавания шести дисциплин: теории баз данных (ТБД), основы программирования (ОП), компьютерной графики (КГ), теории графов (ТГ), теории конечных автоматов (ТКА), теории алгоритмов (ТА). Каждый преподаватель способен вести занятия только по двум из перечисленных дисциплин, причем ни одной из дисциплин не владеет больше, чем один преподаватель. Известно, что

а) Петров самый старший по возрасту;

б) Способный преподавать ТБД младше по возрасту преподавателя ОП;

в) Преподающие ТБД и ОП и Иванов – спортсмены;

г) Преподаватели КГ и ТГ – соседи по дому, а Петров живет в другом районе;

д) Иванов не преподает ни ТКА, ни ТА.

Какие дисциплины может вести каждый преподаватель?

5. Петя, Вася, Дима, Коля и Гена хотят пойти в те секции, где они еще не занимались. При этом:

а) Петя не занимался ни плаванием, ни волейболом, ни баскетболом, ни стрельбой;

б) Вася занимался баскетболом и стрельбой;

в) Дима не занимался лишь баскетболом;

г) Коля не занимался ни плаванием, ни стрельбой;

д) Гена занимался волейболом, стрельбой и фехтованием.

В какие секции записались ребята?

6. Друзья Петя, Вася, Дима, Коля и Гена должны поехать на соревнования в разные города: Октябрьский, Белорецк, Стерлитамак, Ишимбай, Салават и Сибай. При этом:

а) Петя может ехать только в Октябрьский, Белорецк, Салават;

б) Вася может ехать только в Белорецк и Ишимбай;

в) Дима может ехать только один и только в Стерлитамак;

г) Коля не может ехать вместе с Васей;

д) Гена может ехать только с Петей или с Димой, но не в Салават.

В каком городе мог оказаться каждый из них, если вдвоем они не были ни в одном городе.

7. Расследуется преступление. Показания свидетелей сильно различаются. Первый свидетель сказал, что преступник был брюнет с усами, второй – что преступник был блондин без усов, третий сказал, что преступник был блондином, но без портфеля, четвертый был уверен, что преступник – шатен с портфелем. В действительности оказалось, что каждый из свидетелей ошибся в одном из своих показаний. Кто же был правонарушителем?

8. В Уфу на олимпиаду по информатике приехали пятеро студентов из пяти городов Башкортостана. Когда их спросили: «Откуда вы?», они ответили:

а) Иванов: «Я приехал из Салавата, а Ильясов из Нефтекамска».

б) Сидоров: «Я приехал из Салавата, а Петров из Стерлитамака».

в) Петров: «Я приехал из Салавата, а Ильясов из Ишимбая».

г) Ильясов: «Я приехал из Нефтекамска, а Гареев из Белорецка».

д) Гареев: «Я приехал из Белорецка, а Иванов живет в Ишимбае».

Назовите город, из которого приехал Сидоров, если известно, что одно из утверждений каждого студента верно, а другое ложно.

9. На конкурс детской песни в Москву приехали школьники из пяти городов России. Когда их спросили: «Откуда вы?», они ответили:

а) Иванов: «Петров приехал из Новгорода, а я не из Саратова».

б) Петров: «Я приехал из Саратова, а Сидоров из Тамбова».

в) Сидоров: «Я приехал из Саратова, а Ильин из Иркутска».

г) Ильин: «Я приехал из Новгорода, а Григорьев из Москвы».

д) Григорьев: «Я живу в Москве, а Иванов живет в Новгороде».

Назовите город, из которого приехал Петров, если известно, что одно из утверждений каждого школьника верно, а другое ложно.

10 После окончания соревнований у студентов, занявших первые пять мест, спросили: «Откуда вы?», они ответили:

а) Иванов: «Я приехал из Ишимбая, а Гареев из Нефтекамска».

б) Сидоров: «Я приехал из Нефтекамска, а Ильясов из Уфы».

в) Гареев: «Я приехал из Салавата, а Ахметов из Туймазов».

г) Ильясов: «Я живу в Уфе, а Сидоров живет в Салавате».

д) Ахметов: «Я приехал из Салавата, а Сидоров из Ишимбая»

Назовите города, из которых приехал каждый студент, если известно, что одно из утверждений каждого студента верно, а другое ложно.

11. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

12. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Пришедший специалист по обслуживанию сказал, что, скорее всего, с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?

13. Три молодые мамы Анна, Ирина и Ольга, гуляя в парке со своими малышами, встретили свою четвертую подругу. На вопрос, как зовут малышей, желая подшутить над подружкой, они ответили:

Анна: моего малыша зовут Денис, а Кирилл – сын Ирины.

Ирина: моего сыночка зовут Максим, а Кирилл – сын Анны.

Ольга: мой мальчик – Кирилл, а сына Анны зовут Максим.

Каждая из них один раз сказала правду и один раз солгала. Как зовут мальчиков Анны, Ирины и Ольги? В ответе перечислите подряд без пробелов буквы, соответствующие именам мальчиков в указанном порядке имен их мам, например КМД.

12. В первом туре школьного конкурса «Эрудит» в четверку лучших вошли: Дима, Катя, Миша и Нина. И конечно, болельщики высказывали свои предположения о распределении мест во втором, финальном туре. Один считал, что первым будет Дима, а Миша будет вторым. Другой болельщик выразил надежду на то, что Катя займет четвертое место, а второе место достанется Нине. Третий же был уверен в том, что Катя займет третье место, а на втором месте будет Дима. В результате оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какие места заняли Дима, Катя, Миша, Нина? В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам в указанном порядке имен.

13. Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорей всего, 5 г». Витя предположил, что гирька сделана из меди и весит 3 г. Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них прав только наполовину. Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) – изготовлена гирька, и каков ее вес? В ответе запишите первую букву названия металла, а затем цифру, соответствующую весу гирьки, например, Л4.

14. Три ученика из разных школ на вопрос, в какой школе учатся, ответили:

Артем: я учусь в школе №534, а Кирилл – в школе №76.

Кирилл: я учусь в школе №534, а Артем – в школе №105.

Максим: я учусь в школе №534, а Артем – в школе №76.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. В каких школах учатся Артем, Кирилл и Максим? В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие номерам школ в указанном порядке имен, например 53410576.

12. На перекрестке произошло дорожно-транспортное происшествие, в котором участвовали автобус (А), грузовик (Г), легковой автомобиль (Л) и маршрутное такси (М). Свидетели происшествия дали показания инспектору ГИБДД. Первый свидетель считал, что первым на перекресток выехал автобус, а маршрутное такси было вторым. Другой свидетель полагал, что последним на перекресток выехал легковой автомобиль, а вторым был грузовик. Третий свидетель уверял, что автобус выехал на перекресток вторым, а следом за ним – легковой автомобиль. В результате оказалось, что каждый из свидетелей был прав только в одном из своих утверждений. В каком порядке выехали машины на перекресток? В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий транспортных средств в порядке их выезда на перекресток, например АМЛГ.

13. Три друга Олег, Борис и Арсений, закончив институт, разъехались по разным городам. И вот спустя несколько лет, они, встретившись на вечере встречи выпускников, решили разыграть своего товарища. На его вопрос, где они теперь живут, друзья ответили:

Олег: я живу в Екатеринбурге, а Борис – в Мурманске.

Борис: я живу в Волгограде, а Олег – в Мурманске.

Арсений: я живу в Мурманске, а Олег – в Волгограде.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. Где живут Арсений, Борис и Олег? В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий городов, соответствующие именам друзей в указанном порядке, например ВМЕ.

19. Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек?

20. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были «Жигули», первая цифра номера машины – единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семёрки.

Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера.

Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер?

21. Пятеро одноклассников: Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии.

Известно, что:

победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере;

Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;

Тимур всегда побаивался физики;

Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике;

Ирена cожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

22. Ирена любит мороженое с фруктами. В кафе был выбор из таких вариантов:

пломбир с орехами;

пломбир с бананами;

пломбир с черникой;

шоколадное с черникой;

шоколадное с клубникой.

В четырёх вариантах Ирене не нравились или тип мороженого, или наполнитель, а в одном варианте ей не нравились ни мороженое, ни наполнитель. Она попросила приготовить из имеющихся продуктов порцию по своему вкусу.

Какое же мороженое и с какими фруктами любит Ирена?

23. На очередном этапе автогонок «Формула 1» первые четыре места заняли Шумахер, Алези, Хилл и Кулхардт. Опоздавший к месту награждения телерепортёр успел заснять пилотов, занявших второе и третье места, которые поливали друг друга шампанским. В это время Шумахер с четвёртым гонщиком пожимали друг другу руки.

Далее в кадр попал мокрый Хилл, поздравляющий пилота, занявшего второе место.

Напоследок оператор снял сцену, в которой Шумахер и Кулхардт пытались втащить на

пьедестал почёта пилота, занявшего четвёртое место.

Просматривая отснятый материал, режиссёр спортивного выпуска быстро разобрался, кто из пилотов какое место занял. Он знал, что, в соответствии с церемонией награждения победителей гонок, пилоты, занявшие первые три места, поливают друг друга шампанским из огромных бутылок знаменитой фирмы — спонсора соревнований.

Какое же место занял каждый пилот?

24. В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырёх богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой и спрашивает их царь: «Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царёва дочь и полцарства?»

Засмущались добры молодцы и ответы дали туманные:

Сказал Илья Муромец: «Это все Алеша Попович, царь-батюшка».

Алеша Попович возразил: «То был Микула Селянинович».

Микула Селянинович: «Не прав Алеша, не я это».

Добрыня Никитич: «И не я, батюшка».

Подвернулась тут баба Яга и говорит царю: «А прав то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами». Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?

25. При составлении расписания на пятницу были высказаны пожелания, чтобы информатика была первым или вторым уроком, физика – первым или третьим, история – вторым или третьим.

Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания?

26. Обсуждая конструкцию нового трёхмоторного самолёта, трое конструкторов поочередно высказали следующие предположения:

1) при отказе второго двигателя надо приземляться, а при отказе третьего можно продолжать полёт;

2) при отказе первого двигателя лететь можно, или при отказе третьего двигателя лететь

нельзя;

3) при отказе третьего двигателя лететь можно, но при отказе хотя бы одного из остальных надо садиться.

Лётные испытания подтвердили правоту каждого из конструкторов. Определите, при отказе какого из двигателей нельзя продолжать полёт.

27. В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказали предположения о возможных победителях:

1) первым будет Саша, Виктор будет вторым;

2) вторым будет Саша, Дима будет третьим;

3) Андрей будет вторым, Дима будет четвёртым.

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно.

Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли разные места.

28. Для длительной международной экспедиции на околоземной космической станции надо из восьми претендентов отобрать шесть специалистов: по аэронавтике, космонавигации, биомеханике, энергетике, медицине и астрофизике. Условия полёта не позволяют совмещать работы по разным специальностям, хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями. Обязанности аэронавта могут выполнять Геррети и Нам; космонавигатора – Кларк и Фриш; биомеханика – Фриш и Нам; энергетика – Депардье и Леонов; врача – Депардье и Хорхес; астрофизика – Волков и Леонов.

По особенностям психологической совместимости врачи рекомендуют совместные полеты Фриша и Кларка, а также Леонова с Хорхесом и Депардье. Напротив, нежелательно, чтобы Депардье оказался в одной экспедиции с Намом, а Волков – с Кларком.

Кого следует включить в состав экспедиции?

29. В спортивном комплексе работают секции акробатики, волейбола, гимнастики, плавания, фигурного катания и хоккея. Каждую секцию посещает один из друзей: Борис, Володя и Сергей. Каждый из них занимается двумя видами спорта. Определите, какие секции посещает каждый из них, если известно, что:

1. Сергей – самый высокий;

2. занимающийся плаванием меньше ростом занимающегося фигурным катанием;

3. увлекающиеся плаванием, фигурным катанием и Борис любят конфеты;

4. Сергей хорошо знает информатику и помогает решать задачи акробату и волейболисту;

5. Борис не волейболист и не гимнаст.

30. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет одной из следующих профессий: токарь, столяр, хирург и окулист, но неизвестно, кто какой, и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

1. у окулиста два соседа;

2. хирург живет левее токаря;

3. столяр живет с краю;

4. хирург живет рядом со столяром;

5. Алексей живет левее окулиста;

6. Виктор – не токарь;

7. Михаил живет рядом с хирургом;

8. Виктор живет рядом со столяром.

Выясните, кто где живет.

31. Друзья попытались выяснить, собака какой породы стала победительницей прошлогодней выставки. Ниже даны утверждения ребят:

Паша: «Победила такса»;

Борис: «Победила либо овчарка, либо такса»;

Аня: «Борис неправ»;

Коля: «Овчарка точно не победила»;

Ира: «Ни лабрадор, ни овчарка не победили»;

Вася: «Ни лабрадор, ни такса не победили»;

Маша: «Лабрадор точно не победил»;

Коля: «Ира ошибается»;

Оля: «Победила овчарка».

Собака какой породы победила на выставке, если известно, что из девяти высказываний истинны только три?

31. Четыре студента – Денис, Коля, Рустем и Соня по итогам сессии стали лучшими, Но пока неизвестно, кто из них на каком месте находится. Сокурсники высказали предположения о распределении мест:

1. Первым будет Денис, вторым – Коля;

2. Вторым будет Рустем, четвертой – Соня;

3. Денис будет вторым, Соня – третьей.

Когда появились результаты рейтинга, оказалось, что в каждом предположении одно высказывание будет истинным, а другое – ложным.

Как распределились места в рейтинге?