2. Алгебра логики

Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:

А = {Аристотель – основоположник логики}

В = {На яблонях растут бананы}.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0. Таким образом, А=1, В=0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются логическими операциями. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

1. Логическая операция инверсия (отрицание, логическое не)

Инверсия (отрицание):

– в естественном языке соответствует словам «неверно, что...» и частице «не»;

– обозначение  А;

– в языках программирования обозначается not.

Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Например, инверсией высказывания «Лондон – столица Франции» будет высказывание «Неверно, что Лондон – столица Франции».

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.

Инверсия является унарной (одноместной) операцией: она выполняется над одним операндом.

Если значение логической переменной А истинно (равно 1), то значение Ā – ложно (равно 0) и наоборот: если значение А ложно, то значение Ā истинно.

Все остальные логические операции, рассматриваемые в данном пособии, являются бинарными (двуместными) и выполняются над двумя операндами.

Таблица истинности инверсии приведена в таблице 6, диаграмма Эйлера-Венна – на рисунке 5.

Т аблица 6 – Таблица истинности инверсии

A	Ā A
0	1
1	0

Рисунок 5 – Диаграмма Эйлера-Венна для инверсии

4.2.2 Логическая операция конъюнкция (логическое умножение, логическое и)

Конъюнкция (от лат. conjunctio – соединение):

– в естественном языке соответствует союзу «и»;

– в алгебре высказываний обозначается &, , *, · ;

– в языках программирования обозначается and.

Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Конъюнкцией элементарных высказываний «На улице прекрасная погода», «Мы пойдем на пляж» будет составное высказывание «На улице прекрасная погода и мы пойдем на пляж».

Таблица истинности конъюнкции приведена в таблице 7, диаграмма Эйлера-Венна – на рисунке 6.

Таблица 7 – Таблица истинности конъюнкции

A	B	A&B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

A  B

Рисунок 6 – Диаграмма Эйлера-Венна

для конъюнкции

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству, получившемуся в результате умножения множеств А и В. Конъюнкции соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.