21.Связь между хар-ми генеральной и выборочной совокупностей. Точечное оценивание.

Оценка назыв. точечной если она выражается одним числом. К ней относятся хар-ки выборочной сов-ти являющиеся точечными оценками соотв. хар-к генеральной сов-ти. Выборочную среднюю и выборочную дисперсию принимают в кач-ве оценки генеральной средней и генеральной дисперсии соотв.

Можно док-ть, что:

1. М( )= )

2. Р( )= = (1.11)

3. M(δ²)=

4. 

Из 1.11. следует что средняя выборки явл. несмещенной и состоятельной оценкой средней генер. , т.к. в 1.11 выполняется рав-во 1 при n→∞ выборочная средняя стремится по вероятности к генер. средней (рав-во 4). Оценка явл. также эффективной. Выборочная дисперсия явл. смещенной оценкой генер. дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку генер. дисперсии вводят понятие так называемой эмпирической (исправленной) дисперсии (S²= δ² ) – явл. несмещенной оценкой генер. дисперсии; состоятельной. Для оценки сред. квадрат. отклонения генер. сов-ти служит «испарвленное» ср. квадрат. отклонение или эмпирический стандарт. S= . Замечание: оценкой дисперсии пользуются обычно при малых выборках, т.е. практически при n<30, т.к. при больших n, вычисл. по формулам δ² и S² незнач. Отличаются друг от друга.

17. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема.

Теорема 4: если СВ х₁, х₂, …, х_n независимы, имеют мат. ожидания и дисперсии, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого ε>0 выполняется нерав-во: P(| (4.5.). Следовательно:

(4.6.)

Последовательность числе А₁, А₂, …, А_n назыв. равномерно ограниченной, если сущ. такая постоянная С, что для любого i выполняется нерав-во |А_i|≤C, где i=1,2,…, n (т.е. каждое из чисел ограничено одним и тем же числом). З-н больших чисел Чебышева: при неограниченном увеличении числа n попарно независимых СВ, имеющих М(Х) и равномерно ограниченной дисперсии, их среднее арифмет. стремится по вероятности к средней арифмет. их мат. ожиданий. Ф-ла 4.6. означает, что с увеличением числа n нерав-во в скобках будет выполняться в подавляющем числе случаев, нерав-во же противоположного смысла практически невозможно. Следствие: если Х₁, Х₂, …, Х_n – последовательность независимых СВ, мат. ожидания каждой из которых равны а, а дисперсия – δ², то нерав-во 4.5. и ф-ла 4.6 принимают вид: P(|

Теорема 4: если m-число появлений события А в n независимых испытаниях, р-вероятность появления события в каждом испытании, то вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности |р| меньше числа ε>0, выражается неравенством:

P(|

З-н больших чисел в ф-ле Бернулли: при неограниченном увеличении числа n повторных независимых испытаний относительная частота появления события стремится по вероятности к вероятности события при данном испытании. Теорема 5 (теорема Ляпунова, один из вариантов центральной предельной теоремы): если х₁, х₂, …, х_n – независимые СВ, имеющие одно и то же распределение с мат. ожиданием а и дисперсией δ², то при неограниченном возрастании n з-н распределения суммы х=х₁+х₂+…х_n неограниченно приближается к нормальному. Следствие: если СВ х₁, х₂, …, х_n удовлетворяют условию теоремы, то их среднее арифмет. при достаточно большом n также имеет распределение близкое к нормальному. Ляпунов показал также, что требование одинакового распределения х_i можно заменить условием их равномерной малости в образовании общей суммы. Поэтому центрально предельную теорему можно сформулировать и т.о.: если СВ Х предст. собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному. Практ. исп-ие центральной теоремы: ошибки измерения, выборочное наблюдение, рассеивание при стрельбе. К предельным теоремам относятся также локальная и интегральная теоремы Лапласса.