22. Точечные и интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интеграл.

Оценка, определяемая одним числом назыв. точечной. При выборке малого объема точечная оценка может существенно отличаться от истинного значения неизвестного параметра. В следствие этого пользуются интервальными оценками. Оценка, определяется двумя числами – концами интервалов назыв. интервальной. Пусть ά – оценка неизвестного параметра α, полученная по данным выборки. Очевидно, оценка тем точнее, чем меньше модуль разности α-ά.

Доверительной вероятностью или надежностью оценки параметра α назыв. вероятность γ с которой осущ. нерав-во: |α-ά|<δ, т.е. p(|α-ά|<δ)=γ (1.14) Обычно надежность γ задается заранее. В кач-ве γ берут число близкое к 1: 0,95; 0,99; 0,999… Ф-лу 1.14 можно записать в виде: р( -δ<a<ά+δ)=γ. Эта ф-ла означает следующее: Р того, что интервал ( -δ; ά+δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр α и равна γ. Интервал, который покрывает неизвестный параметр α с заданной надежностью γ назыв. доверительным интервалом. Концы доверительного интервала назыв. доверительными границами. Доверит. границы явл. случайными величинами (они измен. от выборки к выборке). Доверит. интервал для оценки мат. ожидания а нормального распределения имеет вид:

( , где δ₀ – генеральное ср. квадрат. Откл-ие

- выборочная средняя (1.15)

число t опр-ся равенством: 2𝜱(t)=γ Доверит. интервал 1.15 показывает неизвестный параметр с надежностью γ. Если δ₀ известно, то значение t берут с помощью таблиц ф-ии Лопласса. Если δ₀ неизвестно и выборка мала, то вместо δ₀ берут исправленное сред. квадрат. отклонение S.

23. Доверительный интервал для оценки мат. Ожидания нормального распределения.

Доверительной вероятностью или надежностью оценки параметра α назыв. вероятность γ с которой осущ. нерав-во: |α-ά|<δ, т.е. p(|α-ά|<δ)=γ (1.14) Обычно надежность γ задается заранее. В кач-ве γ берут число близкое к 1: 0,95; 0,99; 0,999… Ф-лу 1.14 можно записать в виде: р( -δ<a<ά+δ)=γ. Эта ф-ла означает следующее: Р того, что интервал ( -δ; ά+δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр α и равна γ. Интервал, который покрывает неизвестный параметр α с заданной надежностью γ назыв. доверительным интервалом. Концы доверительного интервала назыв. доверительными границами. Доверит. границы явл. случайными величинами (они измен. от выборки к выборке). Доверит. интервал для оценки мат. ожидания а нормального распределения имеет вид:

( , где δ₀ – генеральное ср. квадрат. Откл-ие

- выборочная средняя (1.15)

число t опр-ся равенством: 2𝜱(t)=γ Доверит. интервал 1.15 показывает неизвестный параметр с надежностью γ. Если δ₀ известно, то значение t берут с помощью таблиц ф-ии Лопласса. Если δ₀ неизвестно и выборка мала, то вместо δ₀ берут исправленное сред. квадрат. отклонение S.

19. Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности, состоятельности и эффективности оценки.

Пусть СВ Х имеет распределение F(x,α), содержащее неизвестный параметр. Требуется оценить параметр α, т.е. приближенно оценить ее значение по некоторой выборке х₁, х₂, …, х_n. Оценку параметра α обозначим через ά. Очевидно ά зависят от х₁, х₂, …, х_n , т.е. ά=ά (х₁, х₂, …, х_n). Отметим, что ά явл. СВ. Следовательно можно говорить о распределении этой величины и о числовых характеристиках распределения. Чтобы ά неизвестного параметра α имела практ. ценность (др. словами, чтобы она давала хорошее приближение) к ним предъявл. опр. требования: Она д.б. несмещенной; Эффективной; Состоятельной.

Оценка ά параметра α назыв. несмещенной, если мат. ожидание ά=α, т.е. М(ά)=α и смещенной если М(ά)≠α.

Оценка ά параметра α назыв. состоятельной если при любом ε>0 предел Р при n→∞ (1.6.)

Др. словами при большом кол-ве наблюдений требуют, чтобы выбранная оценка ά стремилась по вероятности к истинному значению неизвестного параметра α.

Очевидно равенство 1.6. выполняется если - из нерав-ва Чебышева. Примером состоятельной оценки явл. любая несмещенная оценка, дисперсия которой при n→∞ стремится к 0. Оценка ά назыв. эффективной если при заданном n она имеет наим. дисперсию, т.е. D(ά)=D_min.