9. Понятие случайной величины и ее ф-ии распр-ния.

Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения называется случайной (X, Y, Z). Обозначение значений случайной величины (х1, х2, х3…; у1, у2…). Чтобы случайная величина была задана надо указать все значения, которые она может принимать и охарактеризовывать, как часто эти значения принимаются данной случайной величиной. Универсальным способом задания случайной величины (Х) является задание ее ф-ии распределения F(x). Ф-ей распределения (интегральной ф-ей) случайной величины (Х) называется ф-ия действительной переменной (х) определяемая равенством F(x)=P(X<х), где P(X< х) – вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х. Св-ва ф-ии распределения F(x): 0≤F(x)≤1, следует из того, что F(x) – вероятность. F(x) – неубывающая ф-ия, т.е. если х1<x2, то F(x1)≤ F(x2). Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал [a,b) равна разности значений ее ф-ии распределения на концах этого полуинтервала, т.е. Р(а≤Х<b)=F(b)-F(a) Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат (а,в), т.е. F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при х≥в. F(x) – непрерывна слева для любого х0.

Из мн-ва всех случайных величин выделяются 2 наиболее часто встречающихся типа случайных величин – дискретные (Прерывные) и непрерывные.

8. Формула Пуассона. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.

Теорема: Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний n неограниченно возрастает, а р→0, при чем np=𝝅 – величина постоянная, то - ф-ия табулирована. Ее называют законом редких событий. Если число n испытаний велико, то вычисление по формуле Бернулли становятся затруднительными. В этом случае пользуются локальной и интегральной формулами Лапласа. Локальная предельная теорема Лапласа: если вероятность р наступления события А в каждом из n независимых испытаний отлично от 0 и 1, то вероятность того, что событие А при этом наступит m раз, при n→∞ выражается приближенной формулой Лапласа:

Pn(m)≈ * при x= , где (x)= * , q=1-p.

Для ф-ии 𝝋(х) имеется таблица ее значений для положительных значений х (ф-ия 𝝋(х) четная)).Интегральная предельная теорема Лапласа: если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний (n→∞) равна одной и той же постоянной р (р больше 0 и меньше 1), то вероятность Рn (k,l)того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее к раз и не более l раз приближенно определяется формулой: dx или )-интегральная ф-ла Лапласа, где x_l== , = и где 𝜱(x)= - ф-ия Лапласа. Для ф-ии Лапласа также имеется таблица ее значений для положительных значений х, т.к.𝜱(0)=0 и 𝜱(х)-нечетная.

Замечание: приближенными функциями Лапласа на практике пользуются в случае если npq больше 10. Если же npq меньше 10, то эти формулы приводят к большим погрешностям. Тогда пользуются формулой Бернулли. Формулы Лапласа эффективны, когда р близко к 0,5. Если р мало (р≤0,1) пользуются асимптотической формулой Пуассона, которая следует из теоремы Пуассона.