7. Повторные независимые испытания. Ф-ла Бернулли.

Пусть производится n испытаний, при чем вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же и u=р и не зависит от исхода других испытаний (независимых испытаний). Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли. В условиях схемы Бернулли требуется найти вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз (m≤n). Т.к. вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q=1-p. Обозначается через Рn(m) вероятность появления события А в n независимых испытаниях ровно m раз. Тогда - формула Бернулли, где число сочетаний Число m0, которому при заданном n соответствует максимальная вероятность называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами: np-q≤m0≤np+p. Заметим, что всегда существует целое число m0 удовлетворяющее двойному неравенству np-q≤m0≤np+p. При этом, если np+p – целое число, то наивероятнейших числа два: np-q и np+p.

3. Действия над событиями. Соотношения между событиями. З-н сложения вероятностей.

Суммой (объединением) 2-ух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них (А+В). Если А и В несовместные события, то сумма А и В означает появление только одного из них. Сумма событий А1, А2, …, Аn означает событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Произведением (пересечением) 2-ух событий А и В называется событие, состоящее одновременно в их появлениях (АВ). Если события А и В несовместны, то их произведение является невозможным событием, т.е. АВ=О. Произведение n событий А1* А2* …* Аn означает событие, состоящее в появлении всех событий А1, А2, …, Аn. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В (А-В). Св-ва операций суммы и произведения событий: 1. А+В=В+А, А*В=В*А; 2. (А+В)+С=А+(В+С)=(А+С)+В, (АВ)С=А(ВС)=(АС)В; 3. (А+В)*С=АС+ВС; 4. А+А=А, А*А=А для любого А; 5. А =О, А*О=О, А*Е=А, А+ =Е, А+О=А, А+Е=Е, где Е-достоверное событие, О-невозможное событие, А-любое, -событие, противоположное А. Если событие А обязательно произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событие В представляет собой частный случай события А, или, что В влечет А. Обозначается В влечет А. Если А влечет В, В влечет А, т.е. событие А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными и эквивалентными и пишут А=В. Теорема 1 (з-н сложения вероятностей): вероятность суммы 2-ух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е. Р (А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Следствие: вероятность суммы 2-ух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В), где А и В – несовместны. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn образующих полную группу равна 1, т.е. Р(А1)+ Р(А2)+ … +Р(Аn)=1. Т..к. А и образуют полную группу, где А и - противоположные события, то сумма вероятностей противоположных событий равна 1, Р(А)+ Р( )=1. Есть стандартное обозначение вероятностей противоп-ых событий: Р(А)=р, Р( )= q, p+q=1.