Пример 2. В полярной системе координат построить график функции (без исследования). Записать уравнение, построенной кривой в декартовых координатах.
Так
как требуется построить график функции
без исследования, то заполним таблицу,
где будут указаны значения
и им соответствующие
.
Т.к.
и
,
то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,97 |
0,86 |
0,71 |
0,5 |
0,26 |
0 |
-0,26 |
-0,5 |
-0,71 |
-0,86 |
-0,97 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,97 |
-0,86 |
-0,71 |
-0,5 |
-0,26 |
0 |
0,26 |
0,5 |
0,71 |
0,86 |
0,97 |
1 |
|
|
Выберем полярную систему координат: полюс О и полярную ось. Построим лучи [OA)-соответствующий - , [OB)- , [OC)- , и т.д. Отложим на построенных лучах значение . Соединив полученные точки плавной линией, получим искомую кривую.
Перейдем
к декартовым координатам в записи
уравнения кривой
.
Формулы
перехода от полярных координат к
декартовым:
,
,
.
В итоге получаем:
,
или
.
Таким образом, уравнение построенной
окружности
.
3. Решите задачу:
Сечение канализационного коллектора имеет форму прямоугольника, заканчивающегося снизу полукругом. Периметр сечения а. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей.
П
лощадь
сечения состоит из площади прямоугольника
и площади полукруга. Пусть радиус
полукруга – r,
а высота
прямоугольника h.Тогда
получим, что площадь сечения S
равна:
,
т.е. площадь сечения зависит от двух
переменных r
и h,
которые
могут меняться, но не произвольно: r
и h
связаны
условием, что периметр сечения коллектора
а постоянный. Периметр сечения а равен:
а=2h +2r +πr.
Поскольку
r и
h –
зависимые переменные в качестве
аргумента выбираем одну из них, например,
h.
Тогда
,
и следовательно,
.
Получаем S
как функцию
от аргумента r
(a-const), т.е.
.
Полученную функцию нужно исследовать
на наибольшее и наименьшее значение.
Из условия задачи ясно, что r может
меняться от 0 до +∞ и S(0)=0;
S(∞)=-∞, а
значит, наибольшее значение будет
достигнуто внутри интервала (0;+∞), т.е.
в одной из критических точек. Находим
критические точки функции S(r).
Для этого
найдем производную
.
Из равенства
,
находим
.
Получим единственную критическую
точку. Определим характер этой точки:
,
,
т.е.
является точкой максимума.
Таким
образом, функция S(r)
достигает своего наибольшего значения
при
,
а
.
Ответ:
