Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Национальный исследовательский университет

Учебно-научный и инновационный комплекс

«Модели, методы и программные средства»

Основная образовательная программа

010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», общий профиль, квалификация (степень) бакалавр

Учебно-методический комплекс по дисциплине

«Теория конечных графов и ее приложения»

Алексеев В.Е, Захарова Д.В.

ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Электронное учебно-методическое пособие

Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса

Нижний Новгород

2012

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Алексеев В.Е., Захарова Д.В. Электронное учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 57 с.

В учебно-методическом пособии излагаются основные понятия и фундаментальные факты теории графов, методы метрического и структурного анализа графов, алгоритмы решения экстремальных задач на графах. Рассматриваются важнейшие классы графов: деревья, двудольные графы, планарные графы. Пособие содержит также задачи для практических занятий и задания для самостоятельной работы студентов.

Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», изучающих курс «Теория конечных графов и ее приложения».

Оглавление

Предисловие 4

1. Начальные понятия 5

Определение графа 5

Способы задания графов 5

Окрестности и степени 6

Некоторые специальные графы 6

Изоморфизм 6

Подграфы 7

Операции над графами 7

Пути, циклы, связность 8

Расстояния и метрические характеристики 9

Графы пересечений 9

Задачи 10

2. Перечисление графов 12

Помеченные графы 12

Непомеченные графы 12

Задачи 14

3. Важнейшие классы графов 15

Деревья 15

Двудольные графы 18

Планарные графы 19

Задачи 20

4. Методы обхода графа 22

Поиск в ширину 23

Поиск в глубину 24

Задачи 27

5. Циклы 29

Эйлеровы циклы 29

Гамильтоновы циклы 31

Пространство циклов 33

Задачи 36

6. Независимые множества, клики, вершинные покрытия 38

Задачи 41

7. Паросочетания 43

Паросочетания и реберные покрытия 43

Метод увеличивающих путей 44

Паросочетания в двудольных графах 44

Независимые множества в двудольных графах 45

Задачи 46

8. Раскраски 47

Раскраска вершин 47

Раскраска ребер 48

Задачи 49

9. Оптимальные каркасы и пути 49

Алгоритм Прима 50

Алгоритм Краскала 51

Кратчайшие пути 52

Задачи 53

10. Потоки 54

Задачи 57

Литература 58

Предисловие

Настоящее пособие предназначено для литературно-методической поддержки курса «Теория конечных графов и ее приложения», читаемого на факультете ВМК ННГУ, оно может использоваться также в курсе дискретной математики и в спецкурсах, где затрагиваются вопросы теории графов и разработки алгоритмов на графах.

Пособие является комбинацией конспекта лекций и сборника задач. В нем излагаются все необходимые теоретические сведения – определения и математические факты. При этом доказательства теорем, как правило, не приводятся. Отсутствующие доказательства могут быть найдены либо в [1] или [2], либо в источнике, указанном в заголовке теоремы, либо достаточно просты и студенты могут их восстановить самостоятельно.

Значительное внимание уделяется алгоритмическому направлению в теории графов, методам исследования графов и решения оптимизационных задач на графах. Некоторые алгоритмы описываются с помощью псевдокода, подобного тем, которые используются в различных руководствах по алгоритмам, например, [8] или [9].

Основная масса задач предназначена для аудиторной работы и домашних заданий. Задачи, помеченные звездочкой, не являются обязательными, они могут использоваться для самостоятельной работы студентов, склонных к аналитической или алгоритмической деятельности.