Лабораторные работы2 / M_6

МИНИСТЕРСВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БССР

Брестский политехнический институт

Кафедра физики

Определение моментов инерции твёрдых

тел с помощью крутильного маятника

( Методические указания к выполнению

лабораторная работа М-6 )

Утверждены Учёным советом

электронно-механического

факультета

1990.07.02, протокол № 6

Брест 1990

УДК 53 (076.5)

Лабораторная работа М-6 “ Определение моментов инерции твёрдых тел

с помощью крутильного маятника” (методические указания к разделу

«Механика»).

Брест, БрПИ, 1990

В методических указаниях рассмотрены принципиальные вопросы курса

физики по разделу «Механика».

Предназначены для студентов всех специальностей и всех форм обучения

в БрПИ.

Авторы В.Я. Хуснутдинова, доцент, к.ф.-м.н., Н.И. Чопчиц, доцент.

Рецензент: кафедра физики БГПИ им. А.С. Пушкина,

доцент БГПИ, к.ф.-м.н. Косарёв В.М.

Рекомендовано кафедрой

физики к публикации на

ротапринте

БрПИ 1990.07.02

© Брестский политехнический институт. 1990

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-6

Определение моментов инерции твёрдых тел

с помощью крутильного маятника

I. Цель работы: Определение моментов инерции твёрдых тел и проверка теоремы

Гюйгенса-Штейнера.

II. Приборы и принадлежности: 1) Крутильный маятник. 2) Набор тел.

III. Описание установки:

Общий вид установки "Крутильный маятник" "ГРМ-05" показан на рис.1. На основании 2, оснащенном четырьмя котками регулируемой высоты для горизонтирования основание, расположен миллисекундомер I. В основании закреплена колонка 3, на которой рас-положены кронштейны 4,5,6. Кронштейны 4,6 имеют зажимы, служащие для закрепле­ния стальной проволоки, на которой подвешена. рамка 7„ На кронштей­не 5 расположены фотоэлектрический датчик 9, электромагнит 10 и шкала углов II. Электромагнит 10 может перемещаться относительно фотоэлектрического датчика, а его положение на шкале углов пока­зывает стрелка, прикрепленная к электромагниту. Это позволяет за­давать различную амплитуду крутильных колебаний. Конструкция рамки 7 позволяет закреплять в ней различные тела из набора, прила­гаемого к установке. тела крепятся при помощи подвижной планки, перемещающейся по вертикальным сторонам рамки. Планка фиксирует­ся в нужном положении путем затягивания гаек на расположенных на планке зажимах втулках.

Установка позволяет проводить прямые измерения периода крутильных колебаний рамки с закрепленными в ней телами при различных угловых амплитудах колебаний.

Определение периода осуществляется следующим образом. При выключенной установке отверните стопорный винт под электромагнитом 10 и, передвигая до шкале углов электромагнит, установите желаемую начальную угловую амплитуду колебаний, после чего зафик­сируй положение электромагнита тем не стопорным винтом. Нажми­те кнопку "сеть" поверните рамку до касания выступом рамки электромагнита. Кнопка «пуск» при этом должна быть отжата. Нажмите кнопку "сброс" , а затем утопите кнопку «пуск». Электромагнит при этом перестает удерживать систему и начинаются крутильные ко­лебания. Количество полных колебаний фиксируется на счётчике "периоды", а время - на соответствующем счетчике справа. Обычно измеряется время 10 полных колебаний. В этом случае после появления цифры 9 на счётчике периодов нажимается кнопка «стоп» и

отсчёт времени прекращается после завершения 10 колебаний. Период Т, очевидно, равен

Т=t10, где t10 —показания правого счётчика. Для последующих измерений кнопка «пуск» отжимается и показания счётчиков обнуляются нажатием кнопки «сброс».

Описание любой экспериментальной ситуации даётся теоретической моделью. Только в рамках принятой модели возможно косвенное определение тех или иных физических величин. В данной работе, в частности, косвенно определяется момент инерции различных тел.

Любая теоретическая модель даёт лишь приближенное описание экспериментальной ситуации, поскольку пренебрегает влиянием многих реально имеющих место эффектов. Сложность модели и определяется, главным образом, числом учитывающих эффектов.

Ниже кратко даётся информация по принимаемой в работе модели, необходимая для выполнения работы и обработки результатов измерений.

Более подробная, необходимая для отчёта по работе, изложена в Приложениях 1и 2.

Основные предположения теоретической модели.

I. Диссипативными силами, т.е. силами трения, сопротивления воздуха и т.д. можно пренебречь в том смысле, что период крутильных колебаний системы в том случае, если бы они отсутствовали, пренебрежимо мало отличался бы от того, который наблюдается реально.

Ниже приводится оценка влияния диссипативных сил на период крутильных колебаний.

2. В работе изучаются крутильные колебания закреплённых в рамке различных тел: длинного стержня, цилиндра, параллелепипеда и т.д. и их колебаний. Закрепление цилиндра, параллелепипеда, шара, конуса в рамке, а также их крепление к стержню осуществляется с помощью небольших штырьков. В теоретической модели, во-первых, предполагается, что оси, на которых лежат эти штырьки, проходят через центры масс соответствующих тел, и, во-вторых, что крепление обеспечивает параллельность этих осей и оси, вокруг которой совершаются колебания (оси, на которой расположены проволоки, крепящие рамку.)

3. Считается, что вся конструкция, участвующая в крутильных колебаниях, симметрично

относительно оси колебаний.

В приложении 2 показано, что при этих предположениях момент инерции I закреплённого в рамке тела или комбинации тел можно найти по формуле:

2

( Т/Т0 ) - 1

I=Iэт-------------------,

2

( Тэт/Т0 ) - 1

где Iэт – момент инерции эталонного тела ( в работе эталонным телом является куб);

Т — период крутильных колебаний при закреплённой в рамке исследуемой комбинации тел или одного тела;

Тэт — период крутильных колебаний при закреплённом в рамке эталонном теле;

Т0 — период крутильных колебаний самой рамки без закрепленных тел;

Выполнение предположения 2 теоретической модели обеспечивается тщательным изготовлением набора тел. Выполнение условия 3 возлагается на экспериментатора: например, при закреплении в рамке стержня с прикреплёнными к нему телами, тела должны быть одинаковыми и располагаться симметрично относительно центра стержня

Условие 1, вообще говоря, выполняется не при любой угловой амплитуде крутильных колебаний. В приложении 2 показано, что силы сухого трения не влияют на период крутильных колебаний, а силы вязкого трения приводят к появлению относительной погрешности в определении периода порядка -2 2

(10)/(N), где N — число колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда уменьшается в 2 раза.

Поэтому, перед началом всех измерений следует убедиться в том, что для выбранной вами угловой амплитуде колебаний N≥5 — только при этом можно пренебречь влиянием диссипативных сил на значение периода. Если условие N≥5 не выполняется, следует уменьшить угловую амплитуду колебаний.

Внимание: результаты всех измерений удобно представить в виде таблиц — тогда они легко обозримы. Таблицы в данной работе вам предлагается составить самостоятельно.

IV. Выполнение работы и обработка результатов и измерений.

Задание 1. Определение момента инерции длинного стержня.

1. Найти период Т0 колебаний рамки без закрепленных в ней тел.

2. Закрепите в рамке эталонный куб в центрах противоположных граней и найдите период

Тэт1 колебаний системы. Повторите измерения для остальных двух пар противоположных граней, найдя Тэт2, Тэт3. Усредняя найденные значения, найдите период Тэт колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным кубом: Тэт1 + Тэт2 + Тэт3

Тэт = ------------------ .

3 2

3. Найдите момент инерции эталонного куба по формуле: mэтa

Iэт= ---------------,

6

где mэт — масса куба (указана на рабочем столе), а — сторона куба, измеряемая штангельциркулем.

4. Закрепите в рамке длинный стержень так, чтобы ось колебаний проходила через его центр. Найдите период Т колебаний рамки со стержнем.

Убедитесь, что период Т практически не зависит от угла между плоскостью рамки и стержнем. Если эта зависимость присутствует, следует более аккуратно крепить стержень в рамке, соблюдая перпендикулярность стержня к оси колебаний и повторить измерение Т.

5. По формуле (I) найдите момент инерции Iст и рассчитайте погрешность его определения стандартным образом.

6. Поскольку стержень представляет собой цилиндр и ось, относительно которой поворачивается при колебаниях стержень проходит через его центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра, теоретическое выражение для момента инерции стержня имеет вид (Приложение 1):

2

теорет mстL 2

Iст = ------ + mстD (2),

12

где L= 0,24м — длина стержня, mст – его масса (указана на рабоч6ем месте), D — диаметр, измеренный штангельциркулем. Сравните результаты вычислений по формуле (2) с результатом п.5, найдя Iст — Iст теорет.

Находится ли значение разности в пределах погрешностей п.5? Сформулируйте письменно причины, по которым указанная разность может выходить за пределы погрешностей экспериментального определения Iст.

7. Если стержень считать пренебрежимо тонким, то теоретическое выражение для его момента инерции имеет для той же оси вид:

2

теорет mстL

Iст = ------ (3).

12

Какое из двух значений (2) или (3) лучше согласуется с экспериментальным значением п. 5?

8. Творческое задание. Разработайте самостоятельно методику учета погрешности, допускаемой при вычислении момента инерции по формуле (2), из-за наличия отверстий в стержне.

Задание 2. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

В работе теорема проверяется для одного из тел стандартной формы из набора, прилагаемого, к установке , (цилиндра, параллелепи­педа, шара, конуса).

Выбор тела и его ориентацию относительно оси колебаний определяет преподаватель.

Ориентация тела относительно оси колебаний определяет в после­дующем выбор той или иной теоретической формулы для расчета момен­та инерции (формулы приведены в Приложении 1).

I. Прикрепите к стержню, закрепленному в рамке после задания I, симметрично два одинаковых тела с помощью штырьков, имеющихся на этих телах, и ввинчивающихся в отверстия на стержне. Вначале ис­пользуйте ближайшие к центру стержня отверстия - они находятся на расстоянии d1= 4,5 см от центра. Определите размеры тела, сделайте чертёж тела, на котором укажите ось, вокруг которой совершаются крутильные колебания.

2. Найдите период колебаний конструкции из стержня и двух тел, а затем по формуле (I) ее момент инерции Iсист1. Момент инерции одного тела относительно оси колебаний равен, очевидно

Iсист1 - Iст

I1= -------------

2

где Iст найден в п.5. Иначе говоря, I1 - это момент инерции исследуемого тела относительно оси, проходящей на расстоянии d1 = 4,5 см от центра масс. Найдите погрешность аналогично п.5 задания 1.

Внимание: У некоторых тел (цилиндра, параллелепипеда, шара) имеются эквивалентные оси. Тогда следует определять момент инерции тела относительно каждой из эквивалентных осей и результаты усреднить.

3. Повторите измерения и вычисления п.2, прикрепив тела на расстоянии d2=б см от центра, стержня (расстояние между отверстия­ми в стержне равно 1.5 см) к найдите I2 , и т.д. В стержне 5 пар симметрично расположенных отверстии, на цилиндрической его поверхности и одна пара отверстии на торцах. При больших угловые амплитудах колебаний нам не удаётся использовать все пары отверстий, т.к грузы при колебаниях будут задевать колонку. Используйте тогда меньшие амплитуды с тем, чтобы, по крайней мере, _провести_ измерения для 5 пар отверстий. Таким образом, будут найдены по

меньшей мере 5 значений Iк при различных расстояниях dк от центpа масс до оси, относительно которой при колебаниях поворачивалось тело.

4.Определите моменты инерции I01 и I02 каждого из тел, укрепляя их в рамке поочерёдно без стержня и поступая аналогично зада­нию I. Усредняя значения I01 I02, получите экспериментальное значение I01+ I02

I0= ----------

2

момента инерции одного исследуемого тела в случае, когда ось проходит через центр масс (т.е. для d=0).

5. В силу предположений 2 и 3 теоретической модели выполняется теорема Гюйгенса-Штейнера: 2

I= Iс + md

где I - момент инерции тела относительно оси колебаний,

Iс - момент инерции тела относительно осп, проходящей через центр масс и параллельной оси колебаний.

m - масса тела,

d - расстояние между указанными осями.

Поэтому, если на координатную плоскость, по оси абсцисс которой откладываются

2

значения переменной х=d , а по оси ординат значения момента инерции I, нанести экспериментальные точки, то они должны лежать на прямой.

I= Iс + mх (4)

По ряду причин, однако, экспериментируемые точки лежат на прямой не вполне точно.

Нанесите экспериментальные точки на указанную координатную плоскость, указывая для каждой точки на рисунке соответствующую погрешность ⌂dк, ⌂Iк. Для просты считайте все ⌂Iк одинаковыми и равными ⌂I1 , найденному в п.3.

Письменно сформулируйте причины, по которым экспериментальные точки могут лежать на прямой не вполне точно.

6. Задача, которая возникает в связи с этим, того же типа, что и в работе М-1:

Как оценить степень уверенности в том, что справедлива линейная зависимость (4),

2

располагая рядом значений Iк при различных χк = dк ?

Примечание: Если не использовались торцевые отверстия стержня, то всего имеем 6 значений Iк ; I0; I1 ;… I6 и 6 значений χк: 2 2 -2 -2 2

χ0= d0=0, χ1= d1=(4,5*10) и т.д. до χ5=( 10,5*10 ).

При использовании торцевых отверстий число значений χ5 и Iс будет.

7. Решение задачи распадается на два этапа. На первом этапе с по­мощью метода наименьших квадратов находиться наилучшая прямая, соответствующая экспериментальным точкам. Параметры этой прямой, входящие в формулу (4), вычисляются по формула;; <χI> –<χ><I> m = ———————— , Iс= < I >- m <χ>, 2 2 <χ>-<χ> n-1 n-1 где <χ>=1/n ∑ χк; <χ>=1/n ∑ χк Iк (5) к=0 к=0 n-1 2 n-1 2 где < I>=1/n ∑ Iк; <χ>=1/n ∑ χк; к=0 к=0 n - общее число значений (б или 7) Проведите вычисления по формулам (5) и найдите массу тела m и момент инерции Iс тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельное оси колебаний ( эта ось изображена у вас на чертеже в п.1. На координатной плоскости (χ, y) постройте наилучшую прямую). 7. На втором этапе решения задачи, согласуются ли эксперименталь­ные значения χк, Iк, с теоретической зависимостью (4), вычисляется величина 2 χ ( хи-квадрат): 2 n-1 Iс+ m χк – Iк 2 χ= ∑ (----------------) (6). к=0 ⌂Iк Для простоты, как же, как и в п.5, можно считать ⌂Iк все оди­наковыми и равными ⌂I1, найденному п.3. Найденное значение сопоставляется с теорией с помощью таблицы распределения 2 2 χ . Число степеней свободы распределения χ в нашем случае равно ń= n -3, поскольку в п. 6 определялись по экспериментальным зна­чениям χк, Iк два неизвестных параметра: Iс и m. Поскольку равно 6 или 7, то ń равно 3 или 4. Фрагмент таблицы для этих значений ń выглядит следующим образом: 99 95 90 80 50 30 20 10 5 3 0,1 0,4 0,6 1,0 1,8 3,6 4,6 6,3 7,8 4 0,3 0,7 1,1 1,6 3,4 4,9 6,0 7,8 9,5 Если, например, в результате вычислений по формуле (б) при n '=4 получилось 2 χ = 1,1, то по таблице находим, что вероятность такого значения составляет 90%. Иначе говоря, на уровне значимос­ти 90% (или 0,9) экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость (4), т.е. теорему Гюйгенса-Штейнера. 2 Найдите χ по формуле (6) и соответствующую вероятность ρ по таблице. Письменно сформулируйте результаты проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера. Задание 3. Проверка согласованности экспериментальных значений Iс, m. I. Используя соответствующую вашему варианту расположение оси формулу для вычисления момента инерции (Приложение I), а также значения массы тела m и момента инерции Iс, проверьте согла­сованность экспериментального определения Iс, m. Результат счи­тается удовлетворительным, если разность между экспериментальным значением Iс и , полученным в п.6 задания 2, и теоретическим, вы­численным по соответствующей формуле, не превышает ⌂Iк из п.3. задания 2.Письменно сформулируйте выводы этого сравнения. 2.Творческое задание. Самостоятельно разработайте методику уче­та в теоретической формуле для момента инерции наличия штырьков.

Приложение1.

Момент инерции и его вычисление.

Аналогом массы как меры инертности при поступательном движении, во вращательном движении является момент инерции. Эта его роль вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения абсолютно твердого тела:

Iкε = ∑М (п.1-1)

где ε - угловое ускоренно тела, ∑М — сума моментов всех сил, действующих на твердое тело. Из этой формулы вытекает, что чем больше момент инерции тела, тем меньше при прочих равных условиях угловое ускорение ε, т.е. тем меньше темп набора угло­вой скорости (тело медленнее раскручивается).

Говорят, поэтому, что момент инерции — это мера инертности тела во вращательном движении.

Любое тело можно представлять себе состоящим из отдельных материаль- ных точек. Момент инерции отдельной материальной точки массой ⌂ тi вычисляется по формуле 2

⌂Ii=⌂miri

рис.II 1-1

где ri - расстояние то этой точки

до оси вращения. Момент инерции тела определяется как сумма моментов

инерции отдельных материальных точек, из которых тело состоит:

2

I=∑⌂Ii=∑ тiri (п.1-2)

Для сплошных тел сумма в формуле (п. I-2) превращается в соответствующий интеграл.

2

Очевидно, [I] = I кгм. Рассмотрим кратко вычисление момента инерции для простейших тел.

1. Момент инерции длинного тонкого однородного относительно оси, проходящей через центр масс стержня и ему перпендикулярной.

Пусть т- масса стержня, l — его длина.

Тогда масса единицы длины стержня (линейная плотность стержня) равна т/l

l/2 l/2

рис. II 1-2

Рассмотрим элемент стержня длиной dχ , находящийся на расстоя­нии χ от оси, проходящей через центр масс с (рис.II 1-2). Масса элемента dm=m/ldχ, а момент

2 2

инерция элемента dI= dm χ = m/l χ dy/ Момент инерции всего стержня равен

l/2 2 3 l/2 2

Iс= m/l∫ χ dχ= m/l Х/3 | = ml/12 (II 1-3)

- l/2 - l/2

значок с у Iс означает, что это момент инерции относительно оси, проходящий через центр масс С.

Вычисление моментов инерции часто облегчается при использова­нии теоремы Гюйгенса-Штейнера:

2

I= Iс + md (П 1-4)

где I - момент инерции тела относительно горизонтальной оси, Iс -момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, m - масса тела, d - расстояние между осями.

Например, если ось перпендикулярна тонкому стержню и проходит через край, то используя выражение (II 1-3) получим с помощью (П 1-4)

2 2 2

I= ml/12+ m(l/2)=ml/3

рис. II 1-3

Рассмотрим ещё одно соображение, часто упрощающее вычисление момента инерции. Рассмотрим материальную точку массой m с координатами (x, y, z ) (рис. П 1-3). Согласно определению момент инерции этой точки относительно осей координат равен

2 2 2 2 2 2

Iч= m(z + y), Iy=m(x + z), Iz=m(x + y) (рис, II 1-3)

2 2 2 2

Сложив все три равенства и учиты­вая, что x + y + z= l где R - расстояние от точки до начала координат, получим

2

Iy + Iх + Iz = 2mR (рис. II 1-5)

Рассмотрим тонкую пластинку произвольной формы, лежащую в плос­кости ХУ . Для

2 2 2

любой материальной точке, из которых состоит плас­тинка, имеем Z=0 и R= χ + y , так что справа в формуле (II 1-5) стоит величина 2m( χ + y)= Iх . Тогда (П 1-5) примет , вид

Iy + Iх = Iz (П 1-6)

Поскольку формула (П 1-6) справедлива для каждой точки, то справедлива и для пластинки в целом.

Для любой плоской фигуры сумма моментов инерции относительно двух взаимно- перпендикулярных осей, лежащих в плоскости пластинки, равна моменту инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки и проходящей через точку пересечения осей в плоскости пластинки.

2. Момент инерции тонкой прямоугольной пластинки.

При вычисление момента инерции от­носительно оси χ пластинку можно представлять состоящей из тонких полосок длиной l каждая? Вытянутых вдоль оси у (рис.II 1-4).