Задание № 3
Анализ показателей последней симплексной таблицы
Заключительным этапом математического моделирования является экономико-математический анализ. Анализ проводится с целью определения возможных последствий при изменении параметров модели. Основывается он на использовании двойственных оценок и коэффициентов последней симплексной таблицы, называемыми коэффициентами замещения или коэффициентами структурных сдвигов. Необходимость проведения экономико-математического анализа оптимальных решений вызвана рядом обстоятельств. Так модель не может быть точным аналогом процесса. Возникает необходимость ее уточнения с целью улучшения качества решения. Необходимость изменения может быть вызвана и действием случайных факторов.
Анализ проводится в следующих целях:
Для определения возможных последствий при изменении параметров модели;
Для оценки устойчивости оптимального плана к изменению отдельных параметров (т.е. интервал, показывающий возможные изменения размера базисной переменной (max и min значения), без изменения состава переменных в оптимальном плане);
Для получения новых вариантов плана без повторного решения задачи.
Вернемся к последней симплексной таблице оптимального плана нашего примера из задания 2.
Таблица 4 – третья симплексная таблица – оптимальный план
правая часть (базис) |
левая часть |
|||||||||||
оценка |
базисный план |
значение базисной переменной |
не базисные переменные |
симплексное отношение |
||||||||
основные |
дополнительные |
|||||||||||
Х1 |
Х2 |
Х3 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
|
|||||
1 |
Х3 |
6.14 |
0.43 |
0 |
1 |
0.28 |
0 |
-0,14 |
0 |
|
||
0 |
S2 |
4 |
4 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
2 |
0 |
|
||
3 |
Х2 |
8.57 |
0.71 |
1 |
0 |
0.1 |
0 |
3.75 |
0 |
|
||
0 |
S4 |
26 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
||
|
Z |
31.86 |
1.57 |
0 |
0 |
0.71 |
0 |
1.14 |
0 |
|
||
В таблице предоставлено оптимальное решение, так как в индексной строке нет отрицательных показателей. В базисный план вошли переменные: Х2, Х3, S2, S4. В числе небазисных находятся переменные Х1, S1, S3.
В экономико-математическом анализе различают:
Прямой эффект – это Ci –оценки целевой функции базисных переменных (по столбцу 1 – «Оценка», например, ((0·26) + (3·8.57) + (4·0) + (1·6.14)=31.86)
Косвенный эффект - это Ci –оценки от ввода в базис небазисной переменной, т.е. потери при структурных изменениях плана.
Ci –оценки целевой функции небазисной переменной, или эффект введения в базис j переменной с единичной интенсивностью (т.е. показатель изменения функционала при введении в базис одной единицы переменной).
Это эффект от ввода в оптимальный план не базисных переменных, который определяется через коэффициенты индексной строки, их называют двойственными оценками. Двойственные оценки (ДО) имеют только переменные, не вошедшие в базис. Базисные переменные имеют двойственную оценку равную нулю.
ДО при основных переменных показывает, насколько изменится функция цели, если ресурс изменить на единицу.
ДО при дополнительных переменных характеризуют ценность ресурса.
Помимо прямого и косвенного эффекта, в последней симплексной таблице проводится экономический анализ коэффициентов замещения. Это коэффициенты, находящиеся при небазисных основных и дополнительных переменных. В нашем примере это коэффициенты, стоящие в столбцах Х3, S2, S3.
Положительный коэффициент при основной небазисной переменной (Х3) показывает, насколько уменьшится значение соответствующей по строке базисной переменной, а отрицательный на сколько оно увеличится при введении в базис основной небазисной переменной с единичной интенсивностью. Таким образом, если Х1 ввести в базис = 1, то:
Значение Х3 на уменьшится 0,43
Значение Х2 уменьшится на 0,71
Значение S2 уменьшится на 4
Значение S4 уменьшится на 5
Значение функции Z уменьшится на 1,57.
Проверка:
2Х1 + Х2 + 3Х3 + S1 = 27
• -4Х1 + 3Х2 + 2Х3 + S2 = 42
• Х1 + 2Х2 - Х3 + S3 = 11
• 4Х1 – 2Х2 + Х3 + S4 = 15
• 2Х1 + 3Х2 + Х3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 =31.86
2*1 +(8.57-0,71) + 3(6.14 – 0,43) + 0 = 26.99 26.99 = 27
• -4*1+3•(8.57-0,71) + 2 (6.14-0,43) + (4-4) = 41.99 41.99 = 42
• 1+2(8.57-071) – (6.14-0,43) +0 = 11 11 = 11
• 4*1-2(8.57-0,71) +(6.14-0,43) + (26-5) = 15 15 = 15
• 2*1+3•(8.57-0,71) + (6,14-0,43) = 31.29 31.29 = 31.29
В оптимальном плане Z = 31,86, в измененном Z = 31,29, уменьшение составляет 1,57.
Коэффициенты замещения при дополнительных не базисных переменных S1, S3 показывают, что в случае уменьшения объема этого ресурса положительные коэффициенты будут уменьшать значения соответствующей по строке базисной переменной, а отрицательные – увеличивать.
Таким образом, если в базис ввести S1 = 1, то:
Значение Х3 уменьшится на 0,28
Значение Х2 уменьшится на 0,1
Значение S2 увеличится на 1
Значение S4 не изменится
Значение функции Z уменьшится на 0,71.
При введении в решение S3 произойдет следующее:
Значение Х3 увеличится на 0,14
Значение Х2 уменьшится на 3,75
Значение S2 уменьшится на 2
Значение S4 уменьшится на 1
Значение функции Z уменьшится на 1,14.
По величине двойственной оценки видно, что введение в решение S1 меньше снизит значение целевой функции (на 0,71), чем Х1 (на 1,57) и S3 (на 1,14). Таким образом, сравнивая двойственные оценки не базисных переменных, можно определить от какой переменной, как и на сколько изменятся базисные переменные и значение целевой функции. Но если в задаче меняется несколько условий, то задачу решают вновь.