Контрольні запитання

1. Яку фігуру називають геоїдом?

2.Сформулюйте основну властивість геоїда і поясніть її.

3. За якими критеріями вибирають загальний земний еліпсоїд?

4.Які криві називають нормальними перерізами на поверхні земного еліпсоїда?

5.Які нормальні перерізи на поверхні земного еліпсоїда називають головними? Які основні властивості мають ці перерізи?

6.Запишіть і поясніть формули для обчислення радіусів кривини меридіана і паралелі.

7.Наведіть основні числові характеристики еліпсоїдів Красовського і WGS – 84.

8.Дайте визначення поняттям меридіан і паралель.

9.Запишіть і поясніть формули для обчислення довжин дуг меридіана і паралелі.

10.Довжина дуги меридіана дорівнює 1°. Чи зміниться лінійне значення цієї дуги при зміні широти її розміщення? Обгрунтуйте відповідь.

11.Довжина дуги паралелі дорівнює 1°. Чи зміниться лінійне значення цієї дуги при зміні довготи її розміщення? Обгрунтуйте відповідь.

Тема 1.3. Розв’язок малих сфероїдних трикутників

Мета роботи: Ознайомитися із суттю сфероїдних трикутників на поверхні еліпсоїда і вивчити способи їх розв’язку.

Завдання: Розв’язати за двома методиками, що базуються на теоремі Лежандра і теорії способу аддітаментів заданий сфероїдний трикутник.

Основні теоретичні положення

Геодезична мережа, що створюється на земній поверхні, має вид замкнутих геометричних фігур, як правило, трикутників. Для опрацюванні вимірів у цих фігурах їх вершини проектують на поверхню еліпсоїда, що дозволяє отримати на цій поверхні сфероїдні трикутники, сторони яких є геодезичними лініями. Кожний такий трикутник характеризується шістьма елементами: трьома сторонами і трьома кутами. Розв’язати сфероїдний трикутник - означає визначити всі його елементи.

Розв’язок сфероїдних трикутників є складною геодезичною задачею тому, що для визначення всіх його елементів необхідно використовувати складні формули, які будуть складені з не елементарних функцій. Враховуючи те, що в геодезії точність розв’язку оцінюється відносною похибкою 10^-8, використання для визначення елементів трикутника складних за конструкцією формул робить процес обчислень складним і тривалим. Для спрощення цього процесу доцільно замінити сфероїдні трикутники сферичними і отримувати розв’язок цих трикутників за простими кінцевими формулами. В літературі [ ] доведено, що частину поверхні еліпсоїда, окреслену радіусом 133км можна з точністю менше 10^-8 замінити сферичною поверхнею радіуса R, де R – середній радіус кривини еліпсоїда, розрахований для заданої ділянки.

Після такої заміни одної поверхні на іншу, сферичні трикутники розв’язують за методиками, що основані на теоремі Лежандра і теорії способу аддитаментів. Суть способу розв’язку сферичного трикутника за методикою, розробленою на основі теореми Лежандра полягає у тому, щоб замінити сферичний трикутник відповідним плоским трикутником з такими ж довжинами сторін,як і у сферичного трикутника.

Рис.4 До методики розв’язку сферичних трикутників за теоремою Лежандра

Теорема Лежандра, яка використовується для такої заміни формулюється так: якщо сторони сферичного і плоского трикутників відповідно рівні між собою, то кути у плоскому трикутнику повинні дорівнювати кутам сферичного трикутника, зменшеним на одну третю сферичного надлишку цього трикутника.

Нехай у сферичному трикутнику АВС елементами є: три сферичні кути А,В,С і три сторони а,в,с , а у відповідному плоскому трикутнику – три плоскі кути А', В', С' і три сторони, що за умовою теореми Лежандра дорівнюють сторонам сферичного трикутника.

Зв’язок, встановлений теоремою Лежандра між кутами сферичного і плоского трикутників записується у вигляді формул ( рис.4):

(1.19)

В (1.19) ε – сферичний надлишок трикутника АВС. Для його обчислення користуються формулою

, (1.20)

де R – середній радіус кривини еліпсоїда, визначений для заданого сферичного трикутника за формулою:

. (1.21)

Якщо у сферичному трикутнику відоме значення одної із сторін, а також всі значення сферичних кутів, то для обчислення сферичного надлишку можна використовувати такі формули:

= = . (1.22)

Розрахувавши значення плоских кутів у трикутнику , , і, виправивши їх поправками за кутову нев’язку, розв’язують плоский трикутник за теоремою синусів за вихідним значенням сторони трикутника, наприклад в, відомими значеннями всіх плоских кутів і визначають довжини невідомих сторін. Маємо:

,

(1.23)

Суть способу розв’язку сферичного трикутника за методикою, розробленою на основі теорії аддитаментів полягає у тому, щоб замінити сферичний трикутник відповідним плоским трикутником з такими ж значеннями сферичних кутів, як і у сферичного трикутника, але з іншими значеннями довжин сторін. Тоді сторони цього плоского трикутника будуть відрізнятися від сторін сферичного трикутника на величини, що отримали назву аддитаментів. Таким чином, для сторін сферичного трикутника а,в,с і сторін плоского трикутника а', в', с' справедливими будуть такі залежності:

а = а' + Аа,

в = в' + Ав,

с = с' + Ас, (1.24)

де Аа, Ав, Ас – аддитаменти відповідних сторін.

Для обчислення значення аддитаменту довільної сторони s використовують формулу

. (1.25)

У (1.25) R – середній радіус кривини еліпсоїда для заданого трикутника.

Методика розв’язку сферичних трикутників цим способом полягає утому, щоб за відомим значенням довжини вихідної сторони сферичного трикутника розрахувати її аддитамет, знайти довжину сторони у плоскому трикутнику і розв’язати цей плоский трикутник за теоремою синусів. За визначеними довжинами сторін плоского трикутника розраховують аддитаменти цих сторін і, відповідно, на основі формул (1.24) знаходять довжини сторін сферичного трикутника.

Існує ще спосіб розв’язку сферичних трикутників за виміряними значеннями його сторін. У цьому розв’язку за відомим значенням довжин всіх сторін необхідно визначити значення сферичних кутів трикутника. Оскільки ця методика не є предметом розгляду у цій лабораторній роботі, то вивчення суті цього способу виноситься на самостійне опрацювання за літературними джерелами, наприклад [1, c.123].