Алгоритм розв’язку завдання

Розрахунок поправок в геодезичні координати точки Q₂ за наведеними вище формулами проведемо в такій послідовності.

1. За геодезичними координатами точок обчислюємо радіуси кривини меридіана і першого вертикала у точці Q₂, а також значення коефіцієнтів a,b,c у відповідності з формулою (2.13). Отримуємо:

Таблиця 2.9 – Розрахунок коефіцієнтів a,b,c

Позначення	Числові величини	Позначення	Числові величини
B1	49,83556222	а1	0,999988654
L1	24,01448556	а2	0,002324841
H1	1254	а3	0,004157654
B2	49,59747665	b1	0,002333044
L2	24,18940622	b2	0,99999534
H2	198,204	b3	0,001969094
M2	6372619,65	с1	0,004153057
N₂	6390659,678	с2	0,001978771
		с3	0,999989418

2. Обчислюємо значення додаткових коефіцієнтів k і p за значеннями коефіцієнтів a,b,c і значеннями просторових полярних координат Z₁₂,A₁₂. Знаходимо:

Таблиця 2.10 - Розрахунок коефіцієнтів k і p

Позначення	Числові величини	Позначення	Числові величини
k1	0,902785229	k7	0,429015223
k2	0,42877185	k8	0,903297259
k3	0,033667963	k9	5,01989E-06
k4	0,030410026	p1	5753,624308
k5	0,014448601	p2	0,033684674
k6	0,999433073	p3	-0,47521294

3. За розрахованими значеннями коефіцієнтів k і p, на основі формул (2.16), обчислюємо поправки до геодезичних координат точки Q₂ за вплив змін просторових полярних координат у точці Q₁. Маємо:

Таблиця 2.11 – Поправки до координат точки Q₂

Позначення	Числові величини
ΔB2	2,5E-05"
ΔL2	0,043"
ΔH2	0,257м

Тема 2.3. Диференційні формули першого роду для оберненої геодезичної

задачі на поверхні еліпсоїда

Мета роботи: Засвоїти суть диференційних формул першого роду для оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда та методику використання цих формул для обчислення поправок в координати.

Завдання: Шляхом практичної реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення поправок в довжину лінії, що з’єднує точки на поверхні еліпсоїда та у значення азимутів ( прямого і оберненого) цієї лінії.

Основні теоретичні положення

Розв’язок оберненої задачі на поверхні еліпсоїда передбачає визначення довжини геодезичної лінії, що з’єднує дві точки на поверхні еліпсоїда, визначення прямого і оберненого азимутів за відомими геодезичними координатами цих двох точок. Це означає, що між величинам, що визначаються і вихідними координатами існує функціональна залежність, яка в загальному запишеться такими рівняннями:

(2.17)

Зміни величин, що визначаються представимо у вигляді повних диференціалів від рівнянь (2.17)

(2.18)

Формули (2.18) встановлюють, як зміниться довжина лінії і азимути при зміні вихідних координат на малі величини , , Оскільки поправки , , є величинами малими, то і поправки до довжини лінії і азимутів будуть величинами малими. Тому доцільно для обчисленні часткових похідних у (2.18) використовувати геометричний шлях їх визначення, що спростить методику їх визначення без суттєвої втрати точності.

Дослідимо, як вплине на зміну довжини лінії і азимути зміна широти другої точки - на величину при незмінних координатах першої точки Q₁ і постійному значенні геодезичної довготи другої точки -

Очевидно, що за таких умов точка Q₂ зміститься вздовж меридіана = const в іншу точку Q₂' ( рис.15). Це переміщення спричинить зміну довжини геодезичної лінії на величину , зміну значень прямого та оберненого азимутів на величину поправок і .

Рис.15 До визначення впливу зміни широти точки Q₂

Щоб визначити ці поправки виконаємо наступну побудову. Окреслимо на рисунку 15 з вершини Q₁ радіусом що є приведеною довжиною геодезичної лінії дугу геодезичного кола Q₂К = dp, і дугу РQ₂' = dp', радіусом , що відповідає новому значенню приведеної довжини геодезичної лінії. Значення довжини цих дуг визначаються з формул

. (2.19)

В (2.19) визначається за формулою (1.70) ( , де середній радіус кривини еліпсоїда у точці Q₁, а приведеної довжини геодезичної лінії, що обчислюється за координатами точки Q₁.

Для визначення поправок в довжину і початковий азимут розв’язуємо трикутник Q₂КQ₂', який вважаємо плоским оскільки сторони, що його утворюють на поверхні еліпсоїда є не скінчено малими. З урахуванням (2.19), отримуємо:

,

(2.20)

Поправку в обернений азимут визначаємо з розв’язку елементарного трикутника Q₂РТ, сторона якого РТ = - dp, а сторона Q₂Т = Після деяких перетворень, знаходимо:

(2.21)

Щоб встановити як впливає зміна довготи на поправку в довжину геодезичної лінії і поправки в азимути і виконаємо нову побудову ( рис. 16).

Рис.16 До визначення впливу зміни довготи точки Q₂

Нехай точка Q₂ за рахунок зміни геодезичної довготи на величину dL₂ змістилася по паралелі у точку Q₂'. Величина цього зміщення складає r₂dL₂. Тому лінія Q₁Q₂ змінить свій напрямок на Q₁Q₂', а азимут Довжин лінії теж отримає поправку ( рис.16). Щоб отримати графічне зображення поправки змістимо на рисунку точку Q₁ по її паралелі в точку Q₁' на віддаль, що відповідає зміні геодезичної довготи на dL₂. Кут між напрямками Q₂'Q₁ і Q₂'Q₁' і буде цією поправкою. Тоді з розв’язку не скінчено малих трикутників Q₂Q₂'K і Q₁Q₁'T після перетворень знаходимо:

(2.22)

Для реалізації формул (2.18) необхідно встановити як впливає зміна координат початкової точки Q₁ на поправки , і .Якщо для визначення цього впливу провести графічні побудови аналогічні до рисунків 15 і 16, при яких точка Q₂ залишається у незмінному положенні, а за рахунок зміни координат зміщується тільки точка Q2, то отримаємо формули, аналогічні за структурою до формул (2.20), (2.21) і (2.22), в яких змінено тільки індекси у відповідних аргументів. На основі цього висновку запишемо:

,

(2.23)

Якщо складові, визначені формулами (2.20 – 2.23) підставити у вихідні рівняння (2.18) і при перетвореннях для формули, що дозволяє визначити поправку в довжину лінії врахувати рівняння Клеро, а для формул, що визначають поправки у азимути ΔА₁₂ і ΔА₂₁ прийняти, що , отримаємо повні диференційні формули першого роду для розв’язку оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда. Маємо:

(2.24)

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку задачі з визначення поправки в довжину геодезичної лінії та поправок у значення прямого та оберненого азимутів відповідно за диференційними формулами першого роду для оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда є:

1. Геодезичні координати і азимути двох точок еліпсоїда- Q₁ і Q₂ ( табл.2.12).

Таблиця 2.12 – Вихідні дані

Геодезичні координати вихідної точки
	Числове значення	Формули переходу
B1	49°50'08,024"	+n'+5n"
L1	24°00'52,148"	+2n'+15n"
А12	154°27'41,324"	+10n° +10n'
Геодезичні координати точки Q2
	Числове значення	Формули переходу
B2	49°35'50,916"	+n'+5n"
L2	24°11'21,862"	+2n'+15n"
А21	334°35'41,744"	+10n° +10n'

2.Зміни широт і довгот в початковій Q₁ і кінцевій Q₂ точках еліпсоїда ( таблиця 2.13)

Таблиця 2.13 - Зміни координат

Зміни координат точок
	Числове значення		Формули переходу
ΔB1	1.269"		+0.5n"
ΔL1	0.695"		+1.5n"
ΔB2	1.492"		+1.0n"
ΔL2		0.367"		+ 2,0n"

3.Довжина вихідної сторони S₁₂ = 26690.090м.

Завдання: Розрахувати значення поправки в довжину геодезичної лінії і поправок в значення прямого і оберненого азимута .