Івано – Франківський національний технічний

університет нафти і газу

Кафедра інженерної геодезії

Р.Г. Пилип’юк, Р.Р. Пилип’юк

ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ

(Cфероїдна геодезія )

Навчальний практикум

Для студентів спеціальності 6.0801 – геодезія,

картографія та землеустрій

Івано – Франківськ

2012

МВ 02070855 - - 2011

Пилип’юк Р.Г., Пилип’юк Р.Р. Вища геодезія: лабораторний практикум. - Івано – Франківськ: Факел. 2011.- 86 с.

Лабораторний практикум містить структуру, зміст і практичні завдання з дисципліни «Вища геодезія» ( 4-й курс). Використання практикуму буде сприяти поглибленому вивченню студентами окремих розділів дисципліни, закріпленню і систематизації набутих знань і умінь, а також дасть змогу перевірити якість їх засвоєння.

Практикум складений згідно з робочим навчальним планом підготовки фахівців за напрямом 6.080101– геодезія, затвердженим Вченою Радою університету 25 травня 2009р.

Рецензент: завідувач кафедри інженерної геодезії, доктор технічних наук Бурак К.О..

Дане видання - власність ІФНТУНГ. Забороняється тиражування і розповсюдження.

ЗМІСТ

Вступ і загальні методичні вказівки…………………………. .......................3

Розділ 1 Сфероїдна геодезія………………………………………......................5

Тема 1.1. Системи координат вищої геодезії……....................................................5

Тема 1.2. Визначення довжини дуги меридіана та паралелі ................................10

Тема 1.3. Розв’язок малих сфероїдних трикутників .............................................13

Тема 1.4.1 Розв’язок головних геодезичних задач на поверхні ліпсоїда............17

Тема 4.1. Розв’язок прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки........................................................................................................................17

Тема 1.4.2 Розв’язок прямої геодезичної задачі за середніми аргументами............................................................................................................23

Тема 1.4.3 Розв’язок оберненої геодезичної задачі за середніми

аргументами............................................................................................................29

Тема 1.4.4. Розв’язок прямої геодезичної задачі шляхом чисельного інтегрування диференційних рівнянь геодезичної лінії ( спосіб Рунге-Кутта).......................................................................................................................32

Тема 1.4.5. Розв’язок оберненої геодезичної задачі на поверхні

еліпсоїда за формулами способу Рунге-Кутта...................................................37

Тема 1.4.6. Розв’язок прямої геодезичної задачі в просторових

системах координат................................................................................................44

Тема 1.4.7. Розв’язок оберненої геодезичної задачі в просторових системах координат................................................................................................................49

Розділ ІІ Диференційні формули......................................................................53

Тема 2.1. Диференційні формули першого роду для прямої геодезичної

задачі на поверхні еліпсоїда...................................................................................54

Тема 2.2. Диференційні формули першого роду для прямої геодезичної

задачі в просторових системах координат...........................................................59

Тема 2.3. Диференційні формули першого роду для оберненої геодезичної

задачі на поверхні еліпсоїда...................................................................................64

Тема 2.4. Диференційні формули другого роду...................................................68

Розділ ІІІ Координати в проекції Гаусса-Крюгера.........................................72

Тема 3.1. Загальні відомості про систему координат Гаусса-Крюгера.............72

Тема 3.2. Обчислення плоских прямокутних координат точки на площині в проекції Гаусса-Крюгера та зближенн меридіану за значеннями її геодезичних оординат............................................................................................74

Тема 3.3. Обчислення геодезичних координат точки за значеннями її плоских прямокутних координат на площині в проекції Гаусса-Крюгера......................77

Тема 3.4. Редукція відстаней і напрямків з поверхні еліпсоїда на площину в проекції Гаусса-Крюгера........................................................................................80

Тема 3.4.1. Редукція відстаней з поверхні еліпсоїда на площину в проекції Гаусса-Крюгера.......................................................................................................81

Тема 3.4.2. Редукція напрямків з поверхні еліпсоїда на площину в проекції Гаусса-Крюгера.......................................................................................................84

Тема 3.5. Перетворення координат в проекції Гаусса-Крюгера із системи координат одної зони в систему координат іншої зони......................................89

ВСТУП І ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Галузевий стандарт освіти за напрямком « Геодезія, картографія та землеустрій» передбачає вивчення на четвертому курсі дисципліни «Вища геодезія» ( розділ «Сфероїдна геодезія») як одної із базових дисциплін для формування фахівців цього напрямку.

Відомо, що дисципліна «Вища геодезія» передбачає вивчення фігури і зовнішнього гравітаційного поля Землі і їх змін у часі. Оскільки фігура реальної Землі – геоїд визначається рівневою поверхнею, що має складний вид і не може бути описана у кінцевому виді математичними рівняннями, то її замінюють геометрично правильною фігурою – еліпсоїдом. Називають такий еліпсоїд загальним земним еліпсоїдом або земним сфероїдом. Цю фігуру вибирають на основі виконання таких основних умов:

- співпадання центра земного еліпсоїда з центром мас Землі, а його осі обертання з віссю обертання Землі;

- мінімуму суми квадратів відхилень по висоті поверхні земного еліпсоїда від поверхні геоїда.

Вибір параметрів загального земного еліпсоїда на основі наведених вище умов не забезпечує найменше відхилення по висоті його поверхні від поверхні геоїда по всій Землі: в одних частинах ці відхилення будуть більшими, в інших – меншими. Тому в окремих країнах ( чи групі країн) для опрацювання геодезичних вимірів і картографування відповідних територій загальний земний еліпсоїд спеціальним чином орієнтують в тілі Землі. Такий, спеціальним чином орієнтований в тілі Землі загальний земний еліпсоїд отримав назву референц-еліпсоїда.

В даний час перед «Сфероїдною геодезією», як важливою складовою частиною дисципліни « Вища геодезія» стоять завдання, пов’язані з вирішенням таких головних задач:

- вивчення геометрії поверхні загального земного еліпсоїда і визначення його параметрів

- геодезичне забезпечення картографування земної поверхні, в тому числі континентального шельфу, акваторії морів і океанів;

- дослідження фізичної поверхні Землі і навколоземного простору у відповідних системах координат, розв’язку задач при інженерно-технічних вишукуваннях.

Теорія вищої геодезії базується на знаннях, отриманих при вивченні вищої математики, фізики, геодезичної астрономії, вищої геодезії (основні геодезичні роботи), інженерної геодезії.

Згідно з робочою програмою, дисципліна складається з двох модулів :

модуль перший М1 – фігура землі, земний еліпсоїд, розв’язок геодезичних задач на поверхні референц-еліпсоїда;

модуль другий М2 – теорія проекції Гаусса-Крюгера і опрацювання вимірів в державній геодезичній мережі.

Змістовні модулі і навчальні елементи, що наповнюють ці модулі відповідним змістом передбачають вивчення таких основних тем:

- фігура Землі і її параметри;

- розв’язок геодезичних задач на поверхні еліпсоїда;

- суть і теорія проекції Гаусса-Крюгера;

- опрацювання вимірів в державній геодезичній мережі;

Лабораторні роботи, що входять в даний практикум стосуються тих чи інших навчальних елементів перерахованих вище. Лабораторні роботи студенти виконують індивідуально. За результатами виконання цих робіт оформляється звіт по кожній роботі. Структура звіту рекомендується такою:

- назва роботи і мета її виконання;

- формулювання завдання, що підлягає виконанню;

- вихідні дані для роботи;

- основні теоретичні положення, на яких базується виконання даної роботи;

- методика виконання роботи, отримані результати та висновки.

Робоча програма з вивчення дисципліни передбачає проведення захисту кожної роботи. Методику захисту обирає викладач і це може бути усне або письмове опитування. За результатами захисту студенти отримують оцінки в бальній системі. Кількість балів, в яку оцінюється кожна лабораторна робота оголошує викладач Всі лабораторні роботи повинні бути відроблені і захищені до іспитової сесії.

Розділ і Сфероїдна геодезія

Зовнішня оболонка Землі утворюється сушею і водною поверхнею і саме вона є фізичною фігурою Землі. Ця фігура є складною і не може бути описана математичними рівняннями. Тому її вивчають відносно допоміжних фігур, якими є геоїд чи загальний земний еліпсоїд ( сфероїд).

Геоїдом називають фігуру, утворену рівневою поверхнею потенціалу сили ваги, яка співпадає з незбуреною поверхнею морів і океанів і умовно продовжена під всіма материками і островами. Основною властивістю геоїда є перпендикулярність його поверхні до напрямків дії сили ваги у всіх її точках. Ця властивість обумовлює неправильну геометричну форму цієї фігури, а також можливість змін фігури геоїда з часом, оскільки сила ваги в тій чи іншій точці може змінюватись з часом. У зв’язку з цими недоліками для вивчення Землі вибирають близьку за розмірами до геоїда, геометрично правильну фігуру, якою є еліпсоїд і який отримав назву загального земного еліпсоїда або сфероїда.

Сфероїдна геодезія – це розділ вищої геодезії, в якому вивчають властивості земного еліпсоїда, його основні елементи і характеристики, способи визначення положення точок на його поверхні та в навколоземному просторі у сферичних чи просторових системах координат. При розв’язку цих завдань приймають, що безпосередні виміри елементів геодезичних мереж, виконані на земній поверхні вже проектовані ( редуковані) на поверхню еліпсоїда.

Тема 1.1 Системи координат вищої геодезії

Мета роботи: Засвоїти системи координат, що використовуються у вищій геодезії та функціональні зв’язки між ними.

Завдання: Визначити для заданої точки еліпсоїда геодезичну, геоцентричну і приведену широту і порівняти їх між собою.

Основні теоретичні положення

Системи координат у вищій геодезії ( сфероїдній геодезії) використовуються для визначення положення точок на поверхні земного еліпсоїда ( референц-еліпсоїда). Найбільш поширеними з них є: просторова прямокутна геоцентрична система координат, геодезична система координат, система координат з приведеною широтою, система координат з геоцентричною широтою.

Просторова прямокутна геоцентрична система координат (рис.1)утворюється осями X,Y,Z. Вісь аплікат Z співпадає з малою піввіссю земного еліпсоїда ОР, координатна площина ХОY розміщується у площині земного екватора і орієнтується так, щоб вісь абсцис Х розміщувалась у площині початкового гринвіцького меридіана. Положення довільної точки поверхні еліпсоїда чи простору в цій системі координат визначається проекціями точки дослідження на відповідні координатні осі, тобто координатами X,Y,Z.

Геодезична система координат використовується для визначення положення точок на поверхні еліпсоїда, а також на фізичній поверхні Землі. Для визначення положення точок на поверхні еліпсоїда використовують дві координати: геодезичну широту і геодезичну довготу.

Рис.1 До систем координат вищої геодезії

Нехай в точці Qo проведена нормаль до поверхні еліпсоїда QQo (рис.1). Гострий кут В, який ця нормаль утворює з площиною екватора називається геодезичною широтою. Геодезичні широти бувають північні і південні і можуть приймати значення від 0° до 90°. Коло на поверхні еліпсоїда, всі точки якого мають одне і теж значення геодезичної широти називається паралеллю. Паралель з широтою 0° є екватором. Якщо через точку дослідження на поверхні еліпсоїда і малу вісь РР' ( рис.1) провести площину то в перетині з поверхнею еліпсоїда отримаємо еліпс і його половина PQoP' отримала назву меридіана. Меридіан, що проходить через астрономічну обсерваторію Грінвіч ( околиця Лондона) називається початковим меридіаном. Геодезичною довготою точки називають двогранний кут при полюсі Р, утворений площинами гринвіцького ( початкового) меридіану і меридіану заданої точки . Довготи бувають східні і західні і можуть приймати значення від 0° до 180°. Всі точки, що знаходяться на одному і тому ж меридіані мають одне і теж значення геодезичної довготи. Меридіани і паралелі на поверхні еліпсоїда утворюють координатні лінії геодезичної системи координат.

Якщо ставиться завдання визначити в геодезичній системі координат положення точки на фізичній поверхні Землі, то використовують геодезичну висоту точки. Геодезичною висотою H називають віддаль по нормалі, виміряну від точки Qo на поверхні еліпсоїда до точки Q на фізичній поверхні Землі ( рис.1).

Система координат з приведеною широтою використовується для визначення положення точок на поверхні еліпсоїда. Для цього використовують дві координати: геодезичну довготу і приведену широту. Геодезична довгота визначає положення на еліпсоїді площину меридіану PQoP' ( рис.2), а за допомогою приведеної широти знаходять положення точки на меридіональному еліпсі. Приведеною широтою називають гострий кут, що утворює площина екватора з напрямком ОQ', який з’єднує центр еліпсоїда точку О з точкою Q', яка є проекцією точки еліпсоїда Qo на коло радіуса а ( рис.2). Приведені широти можуть приймати значення від 0° до ± 90°.

Система координат з геоцентричною широтою також використовується для визначення положення точки на поверхні еліпсоїда за допомогою двох координат: геодезичної довготи і геоцентричної широти. Геодезична довгота визначає положення на еліпсоїді площину меридіану PQoP' ( рис.2), а за допомогою геоцентричної широти знаходять положення точки на меридіональному еліпсі. Геоцентричною широтою Ф називають кут, який утворює радіус-вектор ОQo з

Рис.2 Приведені і геоцентричні широти

площиною екватора. Геоцентричні широти можуть приймати значення від 0° до ± 90°.