Порядок выполнения работы

1. Запустите систему STADIA.

2. Введите в электронную таблицу данные своего варианта (Рисунок 1).

Рисунок 1- Таблица данных

1.3. Для выдвижения гипотезы о характере распределения генеральной совокупности будем использовать оценки числовых характеристик, таких как асимметрия и эксцесс, а также гистограмму.

Для этого необходимо вызвать меню статистических методов (F9). Выбираем пункт "1=Описательная статистика", а в бланке выбора переменной можно выделить сразу все переменные. Выдвигаем нулевую гипотезу (совокупность распределена по нормальному закону) против альтернативной гипотезы

Рисунок 3- Результаты описательной статистики

Для первой и третьей выборок значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса больше 0,05. Таким образом, нет основания отвергнуть гипотезу о равенстве эмпирических коэффициентов асимметрии и эксцесса соответственно 0 и 3, что дает основание заподозрить нормальный характер распределения генеральной совокупности.

1.4. Построим гистограмму и проверим гипотезу о нормальном характере распределения с помощью критериев согласия. В меню статистических методов (F9) выбираем кнопку «2=Гистограмма/нормальность». На странице результатов появится типовой бланк выбора переменой (Рисунок 3), в котором необходимо выбрать подлежащую анализу переменную из электронной таблицы.

Рисунок 3- Бланк выбора переменной

По нажатию <Enter> или «Утвердить» появляется новый бланк «Гистограмма», в котором нужно указать число интервалов и область определения гистограммы. В качестве начального числа интервалов подсказывается значение, вычисленное по эвристической формуле: , а область определения принята равной диапазону выборочных значений в масштабе от 0 до 10 (Рисунок 4).

Рисунок 4- Бланк выбора параметров гистограммы

После подтверждения параметров на этой же странице появляются результаты и запрос на сохранение данных в матрице данных (Рисунок 5).

Рисунок 5

Если запрос будет подтвержден, то на странице электронной таблицы в первый свободный столбец запишутся частоты значений в каждом интервале. На новой появившейся страничке графиков будет выведена гистограмма (Рисунок 6), при нажатии программа сразу показывает

график.

Рисунок 6 - Гистограмма переменной х₁

Графическая выдача содержит изображение гистограммы с наложенной кривой нормального распределения с соответствующими параметрами и _.

При нажатии на кнопку «Оставить» возвращаемся на страницу с результатами (Рисунок 7).

Рисунок 7- Результаты проверки нулевой гипотезы о нормальности заданного распределения

Для каждого интервала гистограммы на экран выводятся:

• Х-лев. – левая граница интервала в исходных единицах;

• Х-станд. – левая граница интервала в единицах стандартного отклонения (из каждого элемента первого столбца вычитается среднее значение выборки и полученная разность делится на стандартное отклонение выборки);

• Частота – число выборочных значений, попавших в интервал;

• % - относительная частота;

• Накопленное число выборочных значений до текущего интервала включительно;

• % - относительная накопленная частота.

Далее приводятся результаты проверки нулевой гипотезы об отсутствии различий между выборочным и нормальным распределениями и значения трех статистик:

• Колмогорова с уровнем значимости ;

• омега-квадрат (Мизеса) с уровнем значимости ;

• хи-квадрат (Пирсона) с уровнем значимости Р.

Интервальный вариационный ряд частот был получен на страничке результатов. Интервалы представлены левыми границами, абсолютные частоты в графе "Частота", и относительная частота в следующей графе . На основании гистограммы подтверждаем выдвижение гипотезы о нормальном характере распределения х₁. Проверка нулевой гипотезы по критерию Пирсона дала положительную оценку в сравнении с заданным уровнем значимости . Критерии Колмогорова и омега-квадрат также не выявили расхождения с нормальным распределением.

Оценка асимметрии и эксцесса для второй выборки не дала положительных результатов, таким образом, гипотеза о нормальном распределении была отвергнута. Построим для выборки х₂ гистограмму. На основании полученной гистограммы и вариационного ряда делаем предположение, что генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону (рисунок 8).

Рисунок 8 - Гистограмма переменной х₂

Для проверки соответствующей гипотезы вызываем меню статистических методов «Статистика» и в нем выбираем «U=Согласие распределений». При этом на экране появится типовой бланк выбора переменной из электронной таблицы (Рисунок 3). После выбора переменной система выдает меню теоретических распределений (Рисунок 9).

Рисунок 9 – Меню выбора теоретических распределений.

В этом меню предлагается восемь теоретических распределений. Заданное распределение необходимо проверить на согласие с предполагаемым теоретическим распределением.

Таким образом, в меню выбора нажимаем на вторую кнопку 2=экспоненциальное. После этого система выходит на графическую страничку, на которой точками изображена кумулятивная функция распределения с наложенной на нее линией теоретической функции распределения (Рисунок 10).

Рисунок 10 - График кумулятивной функции распределения и наложенной кривой экспоненциального распределения.

После просмотра графика система выходит на страничку результатов.

Результаты процедуры проверки на согласие с теоретическим распределением содержат: в строке Распределение – название распределения (в данном случае экспоненциальное), параметры распределения, а также значения статистик Колмогорова и омега-квадрат, их уровни значимости и число степ. своб. Сравнивая полученные значимости с 5%, система выдает заключение Гипотеза 0: Распределение не отличается от теоретического для каждого из указанных выше критериев (Рисунок 11).

Рисунок 11- Результаты проверки гипотезы о согласии

с теоретическим распределением

Сравнение графиков дает основание подтвердить наше предположение об экспоненциальном распределении переменной х₂. значимость критериев согласия Колмогорова и омега-квадрат больше 0,05, таким образом нет оснований отвергнуть гипотезу об экспоненциальном законе распределения совокупности, из которой была сделана выборка х₂.

Оценки асимметрии и эксцесса для переменной х₃ дали основание предположить, что и третья совокупность распределена по нормальному закону распределения. Для подтверждения этой гипотезы мы строим гистограмму. Однако гистограмма дает основание выдвинуть гипотезу не о нормальном, а о равномерном характере распределении (Рисунок 12).

Рисунок 12- Гистограмма переменной х₃

Поскольку процедура проверки гипотезы на согласие с равномерным законом распределения в Stadia не предусмотрена, то этот этап лабораторной работы необходимо выполнить самостоятельно (вручную либо с применением других программ, например, Excel).

Для того, чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, т.е. по закону

надо:

1.Оценить параметры и – концы интервала, в котором наблюдались возможные значения , по формулам (через и обозначены оценки параметров):

2.Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

3. Найти теоретические частоты:

3.Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где – число интервалов, на которые разбита выборка.

Значение выборочной средней и дисперсии возьмем из результатов описательной статистики для переменной х₃ (Рисунок 13).

Найдем тем самым оценки параметров равномерного распределения a и b:

Рисунок 13- Результаты описательной

статистики для переменной х₃

Определим плотность предполагаемого распределения:

Далее определяются теоретические частоты:

Длины каждого следующего интервала, кроме последнего, равны длине второго интервала, поэтому их теоретические частоты совпадают, т.е.

Чтобы сравнить эмпирические и теоретические частоты, составим таблицу1.

Таблица1

1	6	3,9	2,1	4,41	1,13
2	9	8,3	0,7	0,49	0,06
3	7	8,3	-1,3	1,69	0,20
4	7	8,3	-1,3	1,69	0,20
5	5	8,3	-3,3	10,89	1,31
6	9	8,3	0,7	0,49	0,06
7	7	5,4	1,6	2,56	0,47
	50				3,44

Из расчетной таблицы получаем . По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области .

Сравнивая наблюдаемое значение с критическим (3,44<9,5), делаем вывод о том, что нет оснований отвергнуть гипотезу о согласии распределения переменной х3 с равномерным распределением.

Замечание. Если Вы на основании оценок асимметрии, эксцесса и гистограммы не выдвинули гипотезу о согласии с каким-либо распределением, то попробуйте проверить гипотезы о согласии поочередно с каждым из предложенных теоретических распределений в процедуре "Согласие распределений".