30. Коло, описане навколо трикутника

Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.

Теорема. Центр кола, описаного навколо трикутни­ка, є точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутника, проведених через середини цих сторін.

Д оведення. Нехай ABC — даний трикутник і О — центр описаного навколо нього кола (мал. 1). Трикутник АОС — рівнобедрений; у ньому сторони О А і ОС рівні як радіу­си. Медіана OD цього трикутника одночасно є його висотою. Тому центр кола лежить на прямій, яка перпендикулярна до сторони АС і проходить через її середину. Так само доводимо, що центр кола лежить на перпендикулярах до двох інших сто­рін трикутника. Теорему доведено.

З ауваження. Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, часто називають середин­ним перпендикуляром. У зв'язку з цим інколи говорять, що центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Мал. 1Мал. 2Мал. 3

Задача. Доведіть, що серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника перетинаються.

Розв'язання. Нехай ABC трикутник і а, b — сере­динні перпендикуляри до його сторін АС і ВС (мал. 2). Припустимо, прямі а і b не перетинаються, а отже, пара­лельні. Пряма АС перпендикулярна до прямої а. Пряма ВС перпендикулярна до прямої b, а тому і до прямої а, оскільки прямі а і b паралельні. Таким чином, обидві прямі АС і ВС перпендикулярні до прямої а, а тому паралельні. Але це неправильно. Прямі АС, ВС перетинаються в точці С. Ми дійшли до суперечності. Твердження до­ведено.

КОЛО, ВПИСАНЕ В ТРИКУТНИК

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотика­ється до всіх його сторін.

Теорема. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.

Доведення. Нехай ABC — даний трикутник, О — центр вписа­ного в нього кола, D, Е і F — точки дотику кола із сторонами (мал. 3). Прямокутні трикутники AOD і АОЕ рівні за гіпотенузою і катетом. У них гіпотенуза АО спільна, а катети OD і ОЕ рівні як радіуси. З рівності три­кутників випливає рівність кутів OAD і ОАЕ. А це означає, що точка О лежить на бісектрисі трикутника, проведеній з вершини Л. Так само доводимо, що точка О лежить на двох інших бісек­трисах трикутника. Теорему доведено.

32. Методика вивчення теми: ”Паралелограм”.

П аралелограм вивч. в курсі геом. 8 кл. Щоб підвести учнів до поняття паралелограм, потрібно на дошці намалювати паралелограм, і задаючи учням питання: Чи є ця фігура 4-кутником?, Що для нього характерно?. Учні які помічаютьговорять, що у даного 4-кутника протил. сторони паралельні. І внаслідок цього вже модна формулювати означення паралелограма.Паралелограм — 4-кутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.Далі щоб ознайомити учнів з наступною теоремою, можна щоб уч. Провели діагоналі в паралел. BD і AC.Вони перетинаються у т.О. Виміряємо відрізки BО, ОD, AО і СО.Виявляється, що вони рівні.Теорема1 діагоналі в 4-кутнику перетин. і в точці перетину діляться пополам, то цей — 4-кутник є паралелограм.Д-ня: т-ники АОD і СОВ рівні, у них кути при основі О рівні, як вертикальні, а ОD=ОВ і ОА=ОС за умовою теореми. Отже, кути ОВС=ОDА. А вони є внутрішні різносторонніми при прямих АD і ВС і січній ВD.За ознакою паралельності прямих прямі АD і ВС паралельні. Так само доводимо апарлельність прямих АВ і СD за допомогою рівності т-ків АОВ і СОD. Далі потрібно розглянути властивості паралелограма.

Теорема2 (обернена до теореми1). Діагоналі паралелограма перетинаються і в точці перетину діляться пополам. Д-ня. Нехай АВСD — даний паралелограм. Проведемо його діагональ ВD. Позначимо її середину О і на продовженні відрізка АО відкладемо відрізок ОС_и що дорівнює АО.

За теоремою1 чотирикутник.АВ D є паралелограм. Отже, пряма В паралельна АD. Але через точку В можна провести тільки одну пряму, паралельну АD. А це означає, що пряма В збігається з прямою ВС.

Аналогічно доводимо, що пряма D збігається з прямою DС. Отже, точка збігається з точкою С. Паралелограм АВСD збігається з АВ D. Тому його діагоналі перетинаються і в точці перетину діляться пополам. Теорему доведено.

ВЛАСТИВІСТЬ ПРОТИЛЕЖНИХ СТОРІН І КУТІВ ПАРАЛЕЛОГРАМА

Теорема3. У паралелограма протилежні сторони рів­ні, протилежні кути рівні.

Д-ня. Нехай АВСD — даний паралелограм. Проведемо діагоналі паралелограма. Нехай О — точка їх перетину.

Рівність протилежних сторін АВ і СD випливає з рівності трикутників АОВ і СОD. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА = ОС і ОВ=ОD за властивістю діагоналей паралелограма. Так само з рівності трикутників АОD і СОВ випливає рівність другої пари протилежних сторін — АВ і ВС. Рівність протилежних кутів АВС і СDА випливав з рівності трикутників АВС і СDА (за трьома сторонами). У них АВ = СD і ВС = D А за доведеним, а сторона АС спільна. Так само рівність протилежних кутів ВСD і DАВ випливає з рівності трикут­ників ВСD і DАВ.