19.Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел, спряженість коренів поліномів з дійсними коеф., незвідні над полем дійсних чисел поліноми.

нехай ми маємо многочлен і нехай - деяке розширення поляр.

Озн. Коренем многочл. наз. елемент х будь-якого розширення поля Р такий, що

Озн. Елемент поля Р наз. коренем многоч. якщо

Озн. Елемент поля Р наз. к-кратним коренем многоч. , якщо але не

Озн. Поле L в якому многоч. розклад на лінійні множники наз полем розкладу цього многоч.

Озн. Поле Р наз. алгебраїчно-замкненим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многоч. ненулевого степення

Теор. (основна теорема теорії многочленів) Довільний многочлен степеня 1над полем комплексних чисел має принаймні один комплексний корінь.

Наслідок. Кожен многочлен, степінь якого вищий за 1 звідний у полі комплексних чисел.

Наслідок Для того, щоб многоч. був незвідним у полі компл. чисел необх. і досить щоб його степінь =1.

Теор. Якщо компл. число є коренем кратності многочлена

з дійсними коефіц.то спряжене число теж є коренем многочл. цієї ж кратності.

Теор. Кожен многоч. над полем R степінь якого більший r є звідним у цьому полі.

Д-ня.Нехай і нехай деяке -корінь цього многочл. Тоді можливі r- випадки: - дійсне число, або - комплексне число. Нехай є R тоді за теоремою Безу де . Отже, - звідний. Якщо - комплексне тоді за теоремою (якщо - компл. є коренем то теж є коренем ) тому можна представити як

.Отже - звідний.

20. Будова простого алгебр. Розширення. Звільнення від ірраціон. В знаменнику.

Озн. Число наз. алгебраїчним, якщо воно є коренем деякого многочленна з раціон. коеф.

Нехай ми маємо деяке поле- і нехай - деяке алгеб. число, яке може належ. якщо , то приєднавши до ми одерж. множ. Р= ( ). Очевидно, що ця множ. є розширенням поля Р.

Озн. Поле ( ) утворене з поля приєднанням до нього кореня наз. простим алгебраїчним розширенням.

Теор. Поле ( ) утвор. приєднанням кореня незвідного у полі многочлена -го степеня склад. з усіх чисел виду , де - елем. поля .

_Д-ня. Треба показати, що числа виду (*) утв. поле, тобто операції +,-,*,/, замкнені. Розглянемо добуток таких чисел (*). Зрозуміло, що (*) можна розглядати, як результат підстановки замість х у деякий многочлен з коеф.

і розгл. відповідний йому многочлен . Розділимо з остачею і підставимо в одерж. рівність замість . Отже, це число виду (*). Розгл. і покажемо, що число виду(*). многочлен .

треба показати, що . Якщо це не так то ділимо з остачею і підставимо замість х, одержимо , - число виду (*). Таким чином числа виду (*) утв. поле. Познач це поле поле, яке включає число і поле має включати і всі числа виду (*), тобто має містити це і протилежне включення .

Звільнення від ірраціон. в знаменнику

Нехай маємо дріб корінь деякого незвідного многочленна з раціон. коефіц.. Можливі випадки: . Будемо вважати, що правильний крім того можна вважати, що розділимо на з остачею одержимо , .Тоді це значить що

П-д: ; , ; , ; - корінь. ;

1.Група, приклади груп. Найпростіші властивості груп. Підгрупа.

2.Кільце. Приклади кілець. Найпростіші властивості кілець. Під­кіль­це.

3.Гомоморфізми та ізоморфізми груп і кілець.

4.Система натуральних чисел. Принцип математичної індукції.

5.Поле, приклади полів. Найпростіші властивості полів.

6.Поле. Впорядковані поля. Система дійсних чисел.

7.Поле комплексних чисел. Числові поля. Геометричне представлення комплексних чисел і дії над ними. Тригонометрична форма комплексного числа.

8.Векторний простір. Приклади і найпростіші властивості векторних просторів. Підпростір.

9.Лінійна залежність і незалежність системи векторів. Базис і ранг скінченої системи векторів.

10.Наслідок системи лінійних рівнянь. Рівносильні системи лінійних рівнянь. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Розв'я­зування системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.

11.Базис і розмірність скінченновимірного векторного простору. Під­простори. Лінійні многовиди. Ізоморфізми векторних просторів.

12.Основні властивості конгруенцій в кільці цілих чисел за даним модулем.

13.Повна і зведена система лишків. Теорема Ейлера і Ферма.

14.Лінійні порівняння з однією змінною.

15.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подільності цілих чисел.

16.Перетворення звичайного дробу в десятковий і визначення довжини періоду десяткового дробу.

17.Поліноми над полем. Найбільший спільний дільник двох поліномів і алгоритм Евкліда.

18.Розклад полінома в добуток незвідних множників і його єдиність.

19.Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Спряженість недійсних коренів поліномів з дійсними коефіцієнтами. Незвідні над полем дійсних чисел. Поліноми.

20.Будова простого алгебраїчного розширення поля. Звільнення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу.